Loi de probabilité densité

[Naomih]

Bonjour, j’ai du mal avec cet exercice. Exercice 14 question 1 à 4

[Job]

Bonjour

1) $P(T>t)=e^{-\lambda t}$ donc le nombre d'éléments présents à l'instant $t$ est égal à $N_0e^{-\lambda t}$

2) a) $P(T>t_{0,5})=e^{-\lambda t_{0,5}}=\frac{1}{2}$
En utilisant la fonction $ln$ on a $-\lambda t_{0,5}=\ln \frac{1}{2} =-\ln 2$ donc $t_{0,5}=\frac{\ln 2}{\lambda}$

b)
Le nombre d'atomes non désintégrés est $N_0 e^{\lambda(-\frac{2\ln 2}{\lambda})}=N_0 e^{-\ln 4}=\frac{1}{4} N_0$

4 a) $6=\frac{\ln 2}{\lambda}$ donc $\lambda=\frac{\ln 2}{6}$

b) i) $P(T<4)=1-e^{-\frac{4\ln é}{6}}\simeq 0,370$

ii) $P(T>10)=e^{-\frac{10\ln 2}{6}}\simeq 0,315$

c) $P(T<t)=1-e^{-\frac{t\ln 2}{6}}>0,95$
$e^{-\frac{t\ln 2}{6}}<0,05$
$-\frac{t\ln 2}{6}<\ln 0,05$
$t>\frac{-6\ln 0,05}{\ln 2}\simeq 25,93$

d) La constante $\lambda$ de radioactivité du carbone 14 est égale $\frac{\ln 2}{5568}$

1) $P(T<1000)=1-e^{-\frac{1000\ln 2}{5568}}\simeq 0,117$

2) $1-e^{-\frac{t\ln 2}{5568}}=0,2$
$-\frac{t\ln 2}{5568}=\ln 0,8$
$t=-\frac{5568\ln 0,8}{\ln 2}\simeq 1793$

[Naomih]

Merci beaucoup. Pouvez vous m'aidez aussi pour la question 3 je n arrive pas avec les variable

[Job]

Bonjour (je n'avais pas vu la question 3)

a) Je pense que vous avez vu en cours que l'espérance $\tau$ de $T$ est égale à $\frac{1}{\lambda}$

$t_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln 2}{\lambda}=\frac{1}{\lambda}\times\ln 2=\tau \ln 2$ donc $\tau =\frac{1}{\ln 2} \times t_{\frac{1}{2}}\simeq 1,44 t_{\frac{1}{2}}$

b) $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$ donc $f(0)=\lambda$
$f'(t)=-\lambda^2 e^{-\lambda t}$ donc $f'(0)=-\lambda^2$

Équation de la tangente en $A$ : $y=f'(0)t+f(0)$ soit $y=-\lambda^2 t +\lambda$

$y_B=0$ soit $-\lambda^2 t +\lambda$ donc l'abscisse de $B$ est égale à $t=\frac{\lambda }{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda}=\tau$

[Naomih]

Mercii beaucoup