Bonjour Job, je suis entrain de m'entraîner sur un petit exercice qui me pose quelque problèmes sur certaines partie. Avant tout voici l'énoncé :
Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d'entre eux sont verts et possèdent six faces numérotées de 1 à 6. Le troisième est rouge et possède deux faces numérotées 1 et quatre faces numérotées 6. On prend u dé au hasard dans l'urne et on le lancer. On note :
_ V l'événement "le dé tiré est vert"
_ R l'événement "le dé tiré est rouge"
_S1 l'événement " on obtient 6 au lancer du dé".
2. On tire au hasard un dé de l'urne. ON lance ensuite ce dé n fois de suite. On note Sn l’événement "on obtient 6 à chacun des n lancers"
a. Démontrer que : P(Sn) = (2/3)x(1/6)^n + (1/3)x(2/3)^n
2.b. Pour tout entier naturel n non nul, on note pn la probabilité d'avoir tiré le dé rouge, sachant qu'on a obtenu le numéro 6 à chacun des n lancers. Démontrer que :
pn = (1) / ((2)x(1/4)^n)+1
2.c. Déterminer le plus petit entier n0 tel que pn≥0.999 pour tout n _< no
Mes réponse vise à vise de ses questions sont :
2.a) Ce sont des épreuves totalement indépendantes qui sont répétées par une loi binomiale dont les paramètres sont n pour le nombre de tirages et p :
_ Si on obtient un dé vert p = 1/6, on a alors P (tirer 6 fois) = (1/6)^n
_ Si on obtient un dé rouge p = 4/6 = 2/3, on a alors P (tirer 6 fois) = (2/3)^n
On obtient : P(Sn) = ((2/3)x(1/6)^n) + ((1/3)x(2/3)^n)
2.b) pn = p(RnS1) / p(Sn) = ((1/3)x(2/3)^n) / (((2/3)x(1/6)^n)+((1/3)x(2/3)^n))
= (4/6)^n / (((2)x(1/6)^n) + (4/6)^n)
= (4^n) / (2 + 4^n)
= (1) / ((2)x(1/4)^n +(1))
2.c) Pour celle là je n'arrive pas à comprendre!
Je ne sais pas si mes calculs sont justes et répondent exactement à la question (2.a). Merci d'avance pour ton aide.
PROBABILITÉ
Re: PROBABILITÉ
Bonjour
Comme les réponses sont données dans le texte, il faut bien rédiger.
On peut commencer par faire un arbre. Au départ 2 branches : V avec comme probabilité $\frac{2}{3}$ et R avec comme probabilité $\frac{1}{3}$
Ensuite pour chacune $S_n$ avec, si le dé est vert, une probabilité de $(\frac{1}{6})^n$ et si le dé est rouge une probabilité de $(\frac{2}{3})^n$ et $\overline{S_n}$ dans l'autre cas en utilisant la loi binomiale comme tu l'as indiqué.
a) D'après la formule de probabilités totales : $P(S_n)=P(S_n\cap V) +P(S_n\cap R)$
En utilisant la définition d'une probabilité conditionnelle, on a alors :
$P(S_n)=P_V(S_n)\times P(V)+P_R(S_n)\times P(R)=(\frac{1}{6})^n \times \frac{2}{3}+(\frac{2}{3})^n\times \frac{1}{3}$
b) D'accord avec le raisonnement et les calculs;
c) On veut : $\frac{1}{2\times (\frac{1}{4})^n+1}\geq 0,999$ soit $2\times (\frac{1}{4})^n+1\leq \frac{1}{0,999}$
$2\times (\frac{1}{4})^n\leq \frac{1}{0,999}-1=\frac{0,001}{0,999}=\frac{1}{999}$
$(\frac{1}{4})^n \leq \frac{1}{1998}$
2 possibilités pour poursuivre.
Si tu as vu la fonction $\ln$, on l'utilise en prenant le $\ln$ de chaque membre :
$n\ln (\frac{1}{4})\leq \ln (\frac{1}{1998})$
Comme $\ln (\frac{1}{4})<0$, on obtient $n\geq \frac{\ln (\frac{1}{1998})}{\ln (\frac{1}{4})}\simeq 5, 5$
Le plus petit entier $n_0$ est donc 6.
Si tu n'as pas vu la fonction $\ln$, il faut utiliser la calculatrice avec éventuellement un petit programme.
Comme les réponses sont données dans le texte, il faut bien rédiger.
On peut commencer par faire un arbre. Au départ 2 branches : V avec comme probabilité $\frac{2}{3}$ et R avec comme probabilité $\frac{1}{3}$
Ensuite pour chacune $S_n$ avec, si le dé est vert, une probabilité de $(\frac{1}{6})^n$ et si le dé est rouge une probabilité de $(\frac{2}{3})^n$ et $\overline{S_n}$ dans l'autre cas en utilisant la loi binomiale comme tu l'as indiqué.
a) D'après la formule de probabilités totales : $P(S_n)=P(S_n\cap V) +P(S_n\cap R)$
En utilisant la définition d'une probabilité conditionnelle, on a alors :
$P(S_n)=P_V(S_n)\times P(V)+P_R(S_n)\times P(R)=(\frac{1}{6})^n \times \frac{2}{3}+(\frac{2}{3})^n\times \frac{1}{3}$
b) D'accord avec le raisonnement et les calculs;
c) On veut : $\frac{1}{2\times (\frac{1}{4})^n+1}\geq 0,999$ soit $2\times (\frac{1}{4})^n+1\leq \frac{1}{0,999}$
$2\times (\frac{1}{4})^n\leq \frac{1}{0,999}-1=\frac{0,001}{0,999}=\frac{1}{999}$
$(\frac{1}{4})^n \leq \frac{1}{1998}$
2 possibilités pour poursuivre.
Si tu as vu la fonction $\ln$, on l'utilise en prenant le $\ln$ de chaque membre :
$n\ln (\frac{1}{4})\leq \ln (\frac{1}{1998})$
Comme $\ln (\frac{1}{4})<0$, on obtient $n\geq \frac{\ln (\frac{1}{1998})}{\ln (\frac{1}{4})}\simeq 5, 5$
Le plus petit entier $n_0$ est donc 6.
Si tu n'as pas vu la fonction $\ln$, il faut utiliser la calculatrice avec éventuellement un petit programme.