énigme

[nico033]

Bonsoir job;

Pourriez vous m'aider à l'énigme de notre prof posé ce matin;
voici le sujet;

Trouver le nombre qui correspond à ce type d'enchainement:

3 + (1) / (3 + (1) / (3 + (1) / (3 + (1/3))

[Job]

Bonjour

Un peu difficile à lire sans notation mathématique. S'agit-il bien de : $3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3}}}}$ ?

On peut calculer en remontant :
$3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$
$\frac{1}{3+\frac{1}{3}}=\frac{3}{10}$
$3+\frac{3}{10}=\frac{33}{10}$
$\frac{1}{3+\frac{3}{10}}=\frac{10}{33}$
$3+\frac{10}{33}=\frac{109}{33}$
$\frac{1}{3+\frac{10}{33}}=\frac{33}{109}$
$3+\frac{33}{109}=\frac{360}{109}$

Faut-il définir une suite ? Si oui : $u_1=3$ et $u_{n+1}=3+\frac{1}{u_n}$
C'est une suite convergente. Avez-vous vu la méthode pour trouver la limite ?

[nico033]

Oui c'est ça Job .

J'ai vu la convergence en cours

[Job]

Si la suite converge vers un réel L alors en passant à la limite dans la relation de récurrence on a : $L=3+\frac{1}{L}$
La résolution de cette équation donne $L=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$