Loi normale

[Jon83]

Bonjour à tous!
Un élève se rend au lycée en bus
On modélise son temps de parcours, exprimé en minute, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T' qui suit la loi normale d'espérance mu'=15 et d'écart type sigma'.
On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de 0.023.
1a) Justifier que P(10 inf T' inf 20)=0.954 ??? Comment faire sans connaître sigma' ?

[Job]

On modélise son temps de parcours, exprimé en minute, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T' qui suit la loi normale d'espérance mu'=15 et d'écart type sigma'.
On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de 0.023.
1a) Justifier que P(10 inf T' inf 20)=0.954 ???

Bonjour

En appelant $X$ la loi normale centrée réduite, $X=\frac{T'-15}{\sigma'}$
$P(10<T'<20)=P(-\frac{5}{\sigma'}<X < \frac{5}{\sigma'})$

En posant $\alpha =\frac{5}{\sigma'}$, $P(T'>20)=P(X>\alpha) $ et on cherche $P(-\alpha < X<\alpha)$

En utilisant la symétrie :
$P(-\alpha <X<\alpha)=P(X<\alpha)-P(X<-\alpha)=P(X<\alpha)-P(X>\alpha)=1-2P(X>\alpha)$

$P(X>\alpha)=0,023$ donc $P(-\alpha < X <\alpha)=1-2\times 0,023=0,954$

[Jon83]

Ok! Merci ...

[Jon83]

Est ce que je peux justifier ainsi:
T' suit la loi N(15,sigma')
On sais (voir cours) que P(mu-2*sigma' inf T' inf mu+2*sigma')=0.954
Comme P(10 inf T' inf 20)=0.954 on en déduit que 4*sigma'=20-10 et donc que sigma'=2.5
Pour une loi N(15,2.5) la calculatrice donne P(T' sup 20)=0.0275 soit arrondi 0.023 CQFD ????

[Job]

D'accord, c'est bon.

[Jon83]

Merci!