Bonsoir;
Pourriez vous m'aider sur mon exercice sur les suites pour la rentrée;
voici l'énoncé:
Prouver par récurrence lorsque n est supérieur ou égal à 6, que 2^n supérieur ou égal à 6n+7
Soit f(x) = (1/2) + (1/x) définie sur rac 2; + infini
on a u0 = 5 et un+1 = f(un)
prouver par récurrence que rac 2 < ou égal à Un+1 < ou égal à Un < ou égal à 5
récurrence et suite
Re: récurrence et suite
Bonjour
1) Initialisation : $2^6=64$ et $6\times 6 +7=43$ donc $2^6\geq 6\times 6 +7$
Hérédité : On suppose vérifié à un rang $n\geq 6$, l'inégalité $2^n\geq 6n+7$
On a alors $2^{n+1}=2^n\times 2\geq 2(6n+7)=12n+14 =6(n+1)+6n+8>6(n+1)+7$ Donc l'inégalité est vérifiée au rang $(n+1)$
2) Il y a une erreur dans le texte : $u_1=\frac{1}{2} +\frac{1}{5}=\frac{7}{10}$ ; $u_2=\frac{1}{2} +\frac{10}{7}=\frac{27}{14}$
On n'a donc pas $u_2\leq u_1$
1) Initialisation : $2^6=64$ et $6\times 6 +7=43$ donc $2^6\geq 6\times 6 +7$
Hérédité : On suppose vérifié à un rang $n\geq 6$, l'inégalité $2^n\geq 6n+7$
On a alors $2^{n+1}=2^n\times 2\geq 2(6n+7)=12n+14 =6(n+1)+6n+8>6(n+1)+7$ Donc l'inégalité est vérifiée au rang $(n+1)$
2) Il y a une erreur dans le texte : $u_1=\frac{1}{2} +\frac{1}{5}=\frac{7}{10}$ ; $u_2=\frac{1}{2} +\frac{10}{7}=\frac{27}{14}$
On n'a donc pas $u_2\leq u_1$