Bonjour!
Soit (un ) la suite définie par u0=5 et,pour tout entier naturel n ,u(n+1)=(3*un-1)/(un+1)=f(un ) avec f fonction définie sur R-{1} par f(x)=(3x-1)/(x+1); f est strictement croissante sur [1;5].
1) j'essaye de démontrer que la suite est décroissante, mais sans succès: la différence u(n+1)-un, le rapport u(n+1)/un mènent à des calculs inextricables; j'ai essayé une récurrence sans aboutir....
Quelle est la meilleure technique dans ce cas?
suites
Re: suites
Bonjour
Si vous avez démontré précédemment que tous les termes de la suite sont supérieurs à 1 on peut faire une récurrence.
Proposition : $u_{n+1}<u_n$
Initialisation : $u_1=\frac{14}{6}<u_0=5$
Hérédité : on suppose vérifié à un rang $n$, $u_{n+1}<u_n$
Puisque $f$ est une fonction croissante, elle conserve l'ordre donc $f(u_{n+1})<f(u_n)$ soit $u_{n+2}<u_{n+1}$
la proposition est donc vérifiée au rang $n+1$
Si vous avez démontré précédemment que tous les termes de la suite sont supérieurs à 1 on peut faire une récurrence.
Proposition : $u_{n+1}<u_n$
Initialisation : $u_1=\frac{14}{6}<u_0=5$
Hérédité : on suppose vérifié à un rang $n$, $u_{n+1}<u_n$
Puisque $f$ est une fonction croissante, elle conserve l'ordre donc $f(u_{n+1})<f(u_n)$ soit $u_{n+2}<u_{n+1}$
la proposition est donc vérifiée au rang $n+1$
Re: suites
Merci pour votre réponse!
Je n'ai pas démontré que 1 est un minorant de la suite: c'était la question suivante ...
Mais en faisant une récurrence rapide, je l'ai démontré facilement...
initialisation: u0=5>1
hérédité: un>1 -->3un-1>2 ; un>1-->un+1> donc (3un-1)/(un-1)>2/2=2-->u(n+1)>1
d'où la conclusion ....
Par contre, pour démontrer que 5 est un majorant, cette technique ne fonctionne pas...Comment faire?
Je n'ai pas démontré que 1 est un minorant de la suite: c'était la question suivante ...
Mais en faisant une récurrence rapide, je l'ai démontré facilement...
initialisation: u0=5>1
hérédité: un>1 -->3un-1>2 ; un>1-->un+1> donc (3un-1)/(un-1)>2/2=2-->u(n+1)>1
d'où la conclusion ....
Par contre, pour démontrer que 5 est un majorant, cette technique ne fonctionne pas...Comment faire?
Re: suites
Il n'est pas nécessaire de démontrer que les termes de la suite sont inférieurs à 5. Pour pouvoir appliquer la démonstration que j'ai faite, il fallait simplement être sur un intervalle où la fonction est définie et décroissante.
Par contre, votre démonstration est fausse, on ne peut pas diviser membre à membre 2 inégalités.
La démonstration est une récurrence. Pour l'hérédité, on suppose, vérifié au rang $n$ l'inégalité $u_n>1$
On a alors $u_{n+1}-1 = \frac{3u_n-1}{u_n+1}-1=\frac{3u_n-1-u_n-1}{u_n+1}=\frac{2(u_n-1)}{u_n+1}>0$ car $u_n>1$ donc $u_{n+1}>1$
Compte tenu que cette question venait après la décroissance, la méthode que je vous ai indiquée n'est pas la bonne.
Ce qu'il fallait faire :
$u_{n+1}-u_n=\frac{3u_n-1}{u_n+1}-u_n=\frac{3u_n-1-u_n^2-u_n}{u_n+1}=\frac{-u_n^2+2u_n-1}{u_n+1}=\frac{-(u_n-1)^2}{u_n+1}<0$
Donc la suite est décroissante.
(Cela suppose de savoir que $u_n+1>0$. L'avez-vous démontré avant ?)
Par contre, votre démonstration est fausse, on ne peut pas diviser membre à membre 2 inégalités.
La démonstration est une récurrence. Pour l'hérédité, on suppose, vérifié au rang $n$ l'inégalité $u_n>1$
On a alors $u_{n+1}-1 = \frac{3u_n-1}{u_n+1}-1=\frac{3u_n-1-u_n-1}{u_n+1}=\frac{2(u_n-1)}{u_n+1}>0$ car $u_n>1$ donc $u_{n+1}>1$
Compte tenu que cette question venait après la décroissance, la méthode que je vous ai indiquée n'est pas la bonne.
Ce qu'il fallait faire :
$u_{n+1}-u_n=\frac{3u_n-1}{u_n+1}-u_n=\frac{3u_n-1-u_n^2-u_n}{u_n+1}=\frac{-u_n^2+2u_n-1}{u_n+1}=\frac{-(u_n-1)^2}{u_n+1}<0$
Donc la suite est décroissante.
(Cela suppose de savoir que $u_n+1>0$. L'avez-vous démontré avant ?)
Re: suites
Merci pour votre réponse!
a) Si deux inégalités sont positives et de même sens, on ne peut pas les diviser membre à membre?
b) Démontrer que 5 est un majorant est une question ...
c) on ne m'a pas demandé de démontrer que un+1>0 ... mais je peux essayer de le faire...
NB: pour info voici la copie de l'énoncé complet
a) Si deux inégalités sont positives et de même sens, on ne peut pas les diviser membre à membre?
b) Démontrer que 5 est un majorant est une question ...
c) on ne m'a pas demandé de démontrer que un+1>0 ... mais je peux essayer de le faire...
NB: pour info voici la copie de l'énoncé complet
Re: suites
a) 3<5 et 1<10. En divisant membre à membre la première inégalité par la seconde, on obtient $3<\frac{1}{2}$ !!!
b) La suite étant décroissante est majorée par son premier terme qui est 5.
c) Compte tenu du texte (pas très bon à mon avis) je ne pense pas que vous ayez à démontrer que $u_n+1>0$
b) La suite étant décroissante est majorée par son premier terme qui est 5.
c) Compte tenu du texte (pas très bon à mon avis) je ne pense pas que vous ayez à démontrer que $u_n+1>0$
Re: suites
OK! Merci pour votre aide.
b) c'est décroissante et minorée ou je ne m'abuse encore?
J'ai trouvé la limite L=1 en résolvant l'équation (3L-1)/(L-1)=L .
Du coup, je ne sais pas à quoi sert la fonction f dans l'énoncé ????
b) c'est décroissante et minorée ou je ne m'abuse encore?
J'ai trouvé la limite L=1 en résolvant l'équation (3L-1)/(L-1)=L .
Du coup, je ne sais pas à quoi sert la fonction f dans l'énoncé ????
Re: suites
La majoration ne sert à rien pour justifier la convergence. La suite est décroissante et minorée donc elle converge.
Dans la toute première démonstration que j'ai faite, j'utilisais le fait que la fonction $f$ est croissante mais ce n'était pas la seule méthode possible.
Dans la toute première démonstration que j'ai faite, j'utilisais le fait que la fonction $f$ est croissante mais ce n'était pas la seule méthode possible.
Re: suites
Merci pour votre aide!
Cordialement, A + ...
Cordialement, A + ...