Bonjour,
je voudrais de l'aide pour la démonstration de cette inégalité. MERCI D'AVANCE
ÉNONCÉ
En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que pour tout naturel n:
$\frac{1}{2\sqrt{n+1}}≤\sqrt{n+1}-\sqrt{n}≤\frac{1}{2\sqrt{n}}$
inégalité
Re: inégalité
Bonjour
Sur l'intervalle $]0, +\infty[$, la fonction $f(x)=\sqrt x$ est dérivable et $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}$
La fonction $f'$ est décroissante donc $\forall n \in {\mathbb N}^*$, $\forall x \in [n , n+1],\ \frac{1}{2\sqrt {n+1}}\leq f'(x) \leq \frac{1}{2\sqrt n}$
En appliquant l'inégalité des accroissements finis à la fonction $f$ sur l'intervalle $[n ,n+1]$ on a :
$\frac{1}{2\sqrt{n+1}}((n+1)-n)\leq f(n+1)-f(n)\leq \frac{1}{2\sqrt n} ((n+1)-n)$ soit :
$\frac{1}{2\sqrt {n+1}} \leq \sqrt {n+1}-\sqrt n \leq \frac{1}{2\sqrt n}$
Sur l'intervalle $]0, +\infty[$, la fonction $f(x)=\sqrt x$ est dérivable et $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}$
La fonction $f'$ est décroissante donc $\forall n \in {\mathbb N}^*$, $\forall x \in [n , n+1],\ \frac{1}{2\sqrt {n+1}}\leq f'(x) \leq \frac{1}{2\sqrt n}$
En appliquant l'inégalité des accroissements finis à la fonction $f$ sur l'intervalle $[n ,n+1]$ on a :
$\frac{1}{2\sqrt{n+1}}((n+1)-n)\leq f(n+1)-f(n)\leq \frac{1}{2\sqrt n} ((n+1)-n)$ soit :
$\frac{1}{2\sqrt {n+1}} \leq \sqrt {n+1}-\sqrt n \leq \frac{1}{2\sqrt n}$