exos continuite

[nico033]

Bonjour ;

Pourriez vous m'aider à faire les exercices sur la continuité et TVI . Vous trouverez le sujet en PJ

[Job]

Bonjour

E1 $\lim_{x\to -1}\frac{ax-1}{x+2}=-a-1$ et $\lim_{x\to -1}\frac{x+a+b}{x-1}=\frac{-1+a+b}{-2}$
La fonction $h$ est continue en (-1) si $\left\{\begin{array}{rcl}-a-1&=&b\\ \frac{-1+a+b}{-2}&=&b\end{array}\right.$
On résout le système, on trouve $a=-2\ ;\ b=1$

E2 $\varphi (0)=f(0)\geq 0$ car $f$ est à valeurs dans [0 , 1].
$\varphi (1)=f(1)-1\leq 0$ (même raison)
Donc $\varphi (1)\leq 0\leq \varphi (0)$
$\varphi$ somme de 2 fonctions continues est continue et $0\in [\varphi (1) ,\varphi (0)]$ donc l'équation $\varphi (x)=0$ admet au moins une solution dans [0 , 1] ce qui équivaut à dire que l'équation $f(x)=x$ admet au moins une solution.

E3
1. $\sin x \in [-1,1]$ donc pour une solution de (E), $-1\leq \frac{x}{2}\leq 1$ soit $-2\leq x \leq 2$.

2. $f'(x)=\cos x -\frac{1}{2}$
Sur [-2 , 2], $f'(x)=0$ pour $\cos x =\frac{1}{2}$ soit pour $x=-\frac{\pi}{3}$ et $x=\frac{\pi}{3}$
En utilisant le cercle trigonométrique on détermine le signe de $f'(x)$
$f'(x)<0$ sur $[-2, -\frac{\pi}{3}[$ ; $f'(x)>0$ sur $]-\frac{\pi}{3} , \frac{\pi}{3}[$ et $f'(x)<0$ sur $]\frac{\pi}{3},2]$
Sur chacun de ces intervalles, $f$ est continue, strictement monotone.
$f(-\frac{\pi}{3})<0<f(-2)\ ;\ f(-\frac{\pi}{3})<0 <f(\frac{\pi}{3})\ ;\ f(2)<0<f(\frac{\pi}{3})$
Donc sur chacun des intervalles, par le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ possède une solution.
La plus grande est dans l'intervalle $]\frac{\pi}{3} , 2]$, on détermine une valeur approchée avec la calculatrice.

[Job]

L'exercice E4 ne paraît pas très compliqué. Avez-vous des difficultés pour le traiter, si oui, pour quelle(s) question(s) ?

[nico033]

Bonsoir Job;

Non c'est bon ; je l'ai réussi merci bcp !!

Bonne soirée