Bonjour ;
Je reste totalement bloquer sur la démonstration de la dernière question car il faut prouver notre conjecturé sur la limite en plus l'infini j'ai trouvé que c'était 1 mais je jarrive pas à le prouver
Et pour le sens de variation aussi jai conjecturer que c'était décroissante
Merci par avance de votre aide ,
Suite activité
Re: Suite activité
Bonjour
Il faudrait le texte de l'exercice !
Il faudrait le texte de l'exercice !
Re: Suite activité
Bonsoir;
Ci joints le sujet;) , excusez moi
Pour tout n appartenant à IN, on considère les fonctions fn(x) = x^3 + 2nx - 1 définie sur 0 (compris) ; +infini ouvert
ON appelle Cn la courbe représentative de fn dans un repère du plan
Pour tout n, appartenant à IN, on note alpha n la solution de l'équation fn(x) = 0 dans l'intervalle de définition
Donner le nombre de solution de l'équation fn(x) = 0 et un encadrement entre deux entiers consécutifs de chaque solution
donner la position relative de deux courbes Cn et Cn+1
déterminer le sens de variation , convergence de la suite (alpha n)
déterminer la limite en + infini de 2n alpha n
Ci joints le sujet;) , excusez moi
Pour tout n appartenant à IN, on considère les fonctions fn(x) = x^3 + 2nx - 1 définie sur 0 (compris) ; +infini ouvert
ON appelle Cn la courbe représentative de fn dans un repère du plan
Pour tout n, appartenant à IN, on note alpha n la solution de l'équation fn(x) = 0 dans l'intervalle de définition
Donner le nombre de solution de l'équation fn(x) = 0 et un encadrement entre deux entiers consécutifs de chaque solution
donner la position relative de deux courbes Cn et Cn+1
déterminer le sens de variation , convergence de la suite (alpha n)
déterminer la limite en + infini de 2n alpha n
Re: Suite activité
Bonjour
$\alpha_n$ vérifie $\alpha_n^3=1-2n\alpha_n$
$f_{n+1} (\alpha_n)=\alpha_n^3+2(n+1)\alpha_n-1=1-2n\alpha_n+2n\alpha_n +2\alpha_n -1=2\alpha_n$
Tous les termes de la suite appartiennent à ]0, 1] donc $f_{n+1}(\alpha_n)>0$
Or $f_{n+1}(\alpha_{n+1})=0$ donc $f_{n+1}(\alpha_{n+1})<f_{n+1} (\alpha_n)$
La fonction $f_{n+1}$ est strictement croissante donc elle conserve l'ordre.
Par conséquent $f_{n+1}(\alpha_{n+1})<f_{n+1} (\alpha_n) \Longrightarrow \alpha_{n+1}<\alpha_n$. La suite est donc décroissante.
La suite est décroissante, minorée par 0 donc elle converge.
Soit $u_n=2n\alpha_n=1-\alpha_n^3$ avec $u_n\in [0,1[$ puisque $\alpha_n\in ]0,1]$
On a $u_n=1-(\frac{u_n}{2n})^3$.
$\lim_{n\to +\infty} (\frac{u_n}{2n})^3=0$ donc $\lim u_n=1$
$\alpha_n$ vérifie $\alpha_n^3=1-2n\alpha_n$
$f_{n+1} (\alpha_n)=\alpha_n^3+2(n+1)\alpha_n-1=1-2n\alpha_n+2n\alpha_n +2\alpha_n -1=2\alpha_n$
Tous les termes de la suite appartiennent à ]0, 1] donc $f_{n+1}(\alpha_n)>0$
Or $f_{n+1}(\alpha_{n+1})=0$ donc $f_{n+1}(\alpha_{n+1})<f_{n+1} (\alpha_n)$
La fonction $f_{n+1}$ est strictement croissante donc elle conserve l'ordre.
Par conséquent $f_{n+1}(\alpha_{n+1})<f_{n+1} (\alpha_n) \Longrightarrow \alpha_{n+1}<\alpha_n$. La suite est donc décroissante.
La suite est décroissante, minorée par 0 donc elle converge.
Soit $u_n=2n\alpha_n=1-\alpha_n^3$ avec $u_n\in [0,1[$ puisque $\alpha_n\in ]0,1]$
On a $u_n=1-(\frac{u_n}{2n})^3$.
$\lim_{n\to +\infty} (\frac{u_n}{2n})^3=0$ donc $\lim u_n=1$