nombre complexe

[ameni]

bonjour svp c'est urgent .

[Job]

Bonjour

1)a) $\Delta =(1+2i)^2m^2+4(1-i)m^2=m^2(1+4i-4+4-4i)=m^2$
$z_1=\frac{(1+2i)m-m}{2}=im$ ; $z_2=\frac{(1+2i)m+m}{2}=m(1+i)$

b) $z_1z_2=i(1+i)m^2$
Soit $\alpha=arg(1+i)$ ; $|1+i|=\sqrt 2$ ; $\cos\alpha =\frac{1}{\sqrt 2}$ ; $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt 2}$ donc $1+i=\sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}}$
$arg(z_1z_2)=\frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{4} +\theta=\frac{3\pi}{4} +2\theta$
$z_1z_2$ est réel positif si et seulement si il a pour argument 0 modulo $2\pi$
Donc $2\theta=-\frac{3\pi}{4}\ [2\pi]$ soit $\theta =-\frac{3\pi}{8}\ [\pi]$
Mais $\theta \in ]0,\pi[$ donc $\theta =-\frac{3\pi}{8} +\pi =\frac{5\pi}{8}$

2) $z_1z_2$ est réel positif donc $z_1z_2=|z_1z_2|=|i|\cdot |1+i|\cdot |m|^2=1\cdot \sqrt 2 \cdot |m|^2=\sqrt 2 |m|^2$

3) a) Les triangles $OEB$ et $OCE$ sont semblables donc $\frac{OE}{OC}=\frac{OB}{OE}$ donc $OE^2=OB\cdot OC$

b) $OE^2= OB\cdot OC =\frac{\sqrt 2}{2} t$
$m^2=\frac{t}{\sqrt 2}e^{i\frac{5\pi}{3}}$ donc $|m^2|=\frac{t}{\sqrt 2}=\frac{t\sqrt 2}{2}=OE^2$ donc $|m|=OE$

4) a) $A$ est le point d'intersection de la demi-droite $[Oz)$ telle que $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{[0,z)})=\frac{5\pi}{6}$ et du cercle de centre $O$ et de rayon $OE$.

b) $M_1$ est l'image de $A$ dans la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$
$z_2=mi+m$ donc $M_2$ est tel que $\overrightarrow{OM_2}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow{OM_1}$

[ameni]

merci beaucoup !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!