Dm math nombres complexe

Aide au niveau terminale et sujets de baccalauréat.
Loooveyou
Membre
Messages : 1
Inscription : 10 octobre 2016, 17:06

Dm math nombres complexe

Message par Loooveyou » 10 octobre 2016, 17:11

Bonjour merci à ceux qui m'aideront
Exercice 2:

Dans le plan complexe, on considère les points A,B, et C d'affixes resectives zA= 3+5i, zB=1-2i et zC= 5-i.;

1. Calculer les affixes des points I,J,K tels que I est le miieu de [BC]; AJ= 1/3 de AC (en vecteur) et BK= 1/2 BA - 1/4 CB (en vecteur)

Je n'arrive pas à trouver les bons résultats

2. Démontrer que les points I,K et A sont alignés.

3. Les points B,K,J sont ils alignés?

Exercice 3:

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O;u,v)

A tout point M d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' telle que z'= z^2-z+5

1. Calculer l'affixe du point M' lorsque le point M a pour affixe 1-i.

J'ai trouvvé z'=4-i en remplaçant z par 1-i

2. Si le point M' a pour affixe 4 , où se situe le point M.

Je ne sais pas comment trouver

3. Démontrer qu'il existe deux points M invariants et préciser leurs affixes.

4. soit A le point d'affixe 1. Déterminer les affixes des points M tels que OMAM' soit un parrallèlogramme.

5. Déterminer l'ensemble des points M tels que M' appartient à l'axe des abscisse.

Exercice 4:

1. Déterminer tous les nombres complexes z tels que: z^2=4i

2. En déduire les solutions de l'équation: z^2-6z+9-4i=0

Exercice 5: On considère l'équation : (E) z^4+5z^3-4z^2+5z+1=0

1. Résoudre dans C les équations: a. z+ 1/z =-6 b. z+1/z=1

2. On pose Z=z+1/z

Montrer que z est solution de l'équatin (E) si et seulement si Z est solution de l'équation Z^2=5Z-6=0

3. Résoudre l'équation (E).

Avatar de l’utilisateur
Job
Propriétaire du forum
Messages : 2584
Inscription : 28 juin 2013, 15:07
Contact :

Re: Dm math nombres complexe

Message par Job » 10 octobre 2016, 19:55

Bonjour

Exercice 2

Il suffit de savoir que l'affixe d'un vecteur est égale à l'affixe de l'extrémité moins l'affixe de l'origine du vecteur

1. $z_I=\frac{1}{2} (z_B+z_C)=\frac{1}{2} (6-3i)=3-\frac{3}{2} i$

$\frac{1}{3} (z_C-z_A)=z_J-z_A$ soit $\frac{1}{3} (2-6i) =z_J-(3+5i)$ donc $z_J=3+5i+\frac{2}{3}-2i=\frac{11}{3}+3i$

$z_K-z_B=\frac{1}{2}( z_A-z_B)-\frac{1}{4} (z_B-z_C)$ soit $z_K-(1-2i)=\frac{1}{2} (2+7i) -\frac{1}{4} (-4-i)$
$z_K=1-2i+1+\frac{7}{2} i +1+\frac{1}{4} i =3+\frac{7}{4} i$

2. $z_I$, $z_K$, $z_A$ ont la même partie réelle : 3 donc les points $I,\ K,\ A$ appartiennent à la droite d'équation $x=3$

3. $z_{\overrightarrow{BK}}=z_K-z_B=2+\frac{15}{4} i$
$z_{\overrightarrow{BJ}}=z_J-z_B=\frac{8}{3}+5i$
$\frac{3}{4} (\frac{8}{3}+5i)=2+\frac{15}{4} i$ soit $\frac{3}{4} z_{\overrightarrow{BJ}}=z_{\overrightarrow{BK}}$
Donc $\frac{3}{4} \overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BK}$, ces vecteurs sont donc colinéaires et les points $B,\ K,\ J$ sont alignés.

Avatar de l’utilisateur
Job
Propriétaire du forum
Messages : 2584
Inscription : 28 juin 2013, 15:07
Contact :

Re: Dm math nombres complexe

Message par Job » 11 octobre 2016, 09:56

Exercice 3

1) D'accord.

2) Il s'agit de résoudre l'équation $z'=4$ soit $z^2-z+1=0$
On calcule le discriminant : $\Delta = 1-4=-3=(i\sqrt 3)^2$
Les solutions sont donc $z_1=\frac{1-i\sqrt 3}{2}$ et $z_2=\frac{1+i\sqrt 3}{2}$

3. Un point est invariant si il est égal à son image donc si $z'=z$ ce qui conduit à l'équation : $z^2-2z+5=0$
Il s'agit de résoudre une équation du second degré comme dans la question précédente, vous devez trouver : $1-2i$ et $1+2i$.

4. $OMAM'$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{M'A}$ donc $z_{\overrightarrow{OM}}=z_{\overrightarrow{M'A}}$ ce qui conduit à l'équation : $z=1-z'$ soit $z=1-(z^2-z+5)$ donc $z^2-2z+4=0$
Vous devez trouver : $1-i\sqrt 3$ et $1+i\sqrt 3$

5. On utile la forme algébrique de $z$ : $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.
$z^2-z+5=(x+iy)^2-(x+iy) +5=x^2 +2xyi-y^2-x-iy+5=(x^2-y^2+5)+i(2xy-y)$
$M'$ appartient à l'axe des abscisses si $z'$ est réel donc si sa partie imaginaire est nulle soit $2xy-y=0$
$y(2x-1)=0$ donc $y=0$ ou $x=\frac{1}{2}$
L'ensemble des points $M$ est donc la réunion des droites d'équations $y=0$ (axe des abscisses) et $x=\frac{1}{2}$

Avatar de l’utilisateur
Job
Propriétaire du forum
Messages : 2584
Inscription : 28 juin 2013, 15:07
Contact :

Re: Dm math nombres complexe

Message par Job » 11 octobre 2016, 10:16

Exercice 4

1) On utilise la forme algébrique de $z$ : $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.
$(x+iy)^2 =4i$ soit $x^2+2xyi -y^2=4i$
Deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire ce qui conduit au système : $\left\{ \begin{array}{rcl}x^2-y^2&=&0\\2xy&=&4\end{array}\right.$ soit $\left\{\begin{array}{rcl} y&=&\frac{2}{x}\\x^2-\frac{4}{x^2}&=&0\end{array}\right.$
La deuxième équation conduit à $x^4=4$ soit $x^2=2$ donc $x=\pm \sqrt 2$
Les solutions sont les couples : $(\sqrt 2, \sqrt 2)$ et $(-\sqrt 2 , -\sqrt 2)$ donc $z=\sqrt 2 (1+i)$ et $z=-\sqrt 2 (1+i)$

2) L'équation équivaut à $(z-3)^2=4i$ donc, en utilisant la question précédente : $z=3+\sqrt 2 (1+i) =3+\sqrt 2 +i\sqrt 2$ et $z=3-\sqrt 2 (1+i) =3-\sqrt 2 -i\sqrt 2$

Avatar de l’utilisateur
Job
Propriétaire du forum
Messages : 2584
Inscription : 28 juin 2013, 15:07
Contact :

Re: Dm math nombres complexe

Message par Job » 11 octobre 2016, 10:32

Exercice 5

1. a. L'équation équivaut à $z^2+6z+1=0$. On obtient comme solutions $-3+2\sqrt 2$ et $-3-2\sqrt 2$.

b. L'équation équivaut à $z^2-z+1=0$ soit $z=\frac{1+i\sqrt 3}{2}$ et $z=\frac{1-i\sqrt 3}{2}$

2. $Z^2 =(z+\frac{1}{z})^2 =z^2+2+\frac{1}{z^2}$ (A)

Dans l'équation (E), on met $z^2$ en facteur : $z^2(z^2+5z -4+\frac{5}{z} +\frac{1}{z^2})=0$
$z=0$ n'est pas solution de l'équation donc c'est le second facteur qui doit être nul.
$(z^2+\frac{1}{z^2}) +5(z+\frac{1}{z}) -4=0$
En utilisant l'égalité (A) : $Z^2-2+5Z-4=0$ soit $Z^2+5Z-6=0$

3. Les solutions de l' équation d'inconnue $Z$ sont $Z_1=-6$ et $Z_2=1$
On a alors $z+\frac{1}{z} =-6$ et $z+\frac{1}{z} =1$ et on obtient les solutions obtenues dans la première question.

Répondre