Bonsoir;
J'ai un exercice à cherché pour jeudi , et je n'y arrive pas pourriez vous m'aider svp (merci de votre aide)
On considère la suite (Sn) définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1, tel que
Sn = somme (n à k = 1) (1/k^2) = 1 + (1/2^2) + .... (1/n^2)
quelles connecteurs pouvez vous formuler sachant que vous devez calculer S5, S20, S50 et S100
Etudier le sens de variation de (Sn)
Montrer que pour tout entier k supérieur ou égal à 2, 1/k^2 < ou égal à (1) / (k-1) - (1) / (k) en déduire que la suite est bornée
conclure
suites
Re: suites
Bonjour
Je ne comprends pas ce que veut dire la première question. (connecteur ?)
$S_{n+1}-S_n =\frac{1}{(k+1)^2}>0$ donc la suite est croissante.
$\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=\frac{k-(k-1)}{k(k-1)}=\frac{1}{k(k-1)}$
$k(k-1)\leq k^2$ donc $\frac{1}{k(k-1)}\geq \frac{1}{k^2}$
$\frac{1}{1^2}\leq 1$
$\frac{1}{2^2}\leq \frac{1}{1}-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3^2}\leq \frac{1}{2} -\frac{1}{3}$
.............
$\frac{1}{(n-1)^2}\leq \frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}$
$\frac{1}{n^2}\leq \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
En additionnant membre à membre toutes ces inégalités :
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \leq 1+1-\frac{1}{n}$
Donc la somme $S_n$ est bornée par 2.
Je ne comprends pas ce que veut dire la première question. (connecteur ?)
$S_{n+1}-S_n =\frac{1}{(k+1)^2}>0$ donc la suite est croissante.
$\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=\frac{k-(k-1)}{k(k-1)}=\frac{1}{k(k-1)}$
$k(k-1)\leq k^2$ donc $\frac{1}{k(k-1)}\geq \frac{1}{k^2}$
$\frac{1}{1^2}\leq 1$
$\frac{1}{2^2}\leq \frac{1}{1}-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3^2}\leq \frac{1}{2} -\frac{1}{3}$
.............
$\frac{1}{(n-1)^2}\leq \frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}$
$\frac{1}{n^2}\leq \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
En additionnant membre à membre toutes ces inégalités :
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \leq 1+1-\frac{1}{n}$
Donc la somme $S_n$ est bornée par 2.