Bonsoir,
Voici notre 1er devoir maison de l'année, est ce qu'il serait possible de me donner quelques pistes (merci par avance) ;
Soit x et y des réels strictement positifs, montrer que (2xy/x+y) < ou égal à rac (xy) < ou égal (x+y/2)
soit u la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n par un+1 = 2un+2n^2-n
on considère également la suite v définie telle que vn = un+2n^2+3n+5
Déterminer en justifiant une expression de vn et un en fonction de n uniquement
voici un extrait de feuille de tableur :, à compléter
A B C
1 n u v
2 0 2 7
3 1 4 14
4 2 9 28
5 3 24 56
6 4 63
7
8
9
10
suites et logiques
Re: suites et logiques
Bonjour;
Quelqu'un pourrais me donner quelques pistes pour mon dm (merci par avance)
Quelqu'un pourrais me donner quelques pistes pour mon dm (merci par avance)
Re: suites et logiques
Bonjour
1) On utilise que 2 nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés.
$(\frac{x+y}{2})^2-(\sqrt{xy})^2=\frac{x^2+y^2+2xy}{4}-xy=\frac{x^2+y^2-2xy}{4}=\frac{(x-y)^2}{4}\geq 0$
On en déduit que $\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$
En divisant par $\sqrt{xy}$, $\frac{2xy}{x+y}\leq \sqrt{xy}\Longleftrightarrow \frac{2\sqrt {xy}}{x+y}\leq 1$ ce qui équivaut à $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$ démontré précédemment.
2) Calcul des premiers termes :
$u_0=2\ ;\ v_0=7$
$u_1=4\ ;\ v_1=14$
$u_2=9\ ;\ v_2=28$
$u_3=24\ ; v_3=56$
On peut conjecturer que $v_n=7\times 2^n$, ce qui donne alors pour $u_n=7\times 2^n -2n^2-3n-5$
Il reste à le démontrer en utilisant une récurrence.
C'est vérifié au rang 0.
On suppose $u_n=7\times 2^n -2n^2-3n-5$
On a alors $u_{n+1}=2(7\times 2^n -2n^2-3n-5)+2n^2-n$ soit en développant $u_{n+1}=7\times 2^{n+1}-2n^2-7n-10$
On vérifie : $7\times 2^{n+1}-2(n+1)^2 -3(n+1)-5=7\times 2^{n+1}-2n^2-4n-2-3n-3-5=7\times 2^{n+1}-2n^2-7n-10$
Donc l'expression est vérifiée au rang $(n+1)$
Et on en déduit immédiatement que $v_n=7\times 2^n$
La colonne n donne l'indice, la colonne u donne les valeurs de $u_n$ et la colonne $v$ les valeurs de $v_n$
1) On utilise que 2 nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés.
$(\frac{x+y}{2})^2-(\sqrt{xy})^2=\frac{x^2+y^2+2xy}{4}-xy=\frac{x^2+y^2-2xy}{4}=\frac{(x-y)^2}{4}\geq 0$
On en déduit que $\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$
En divisant par $\sqrt{xy}$, $\frac{2xy}{x+y}\leq \sqrt{xy}\Longleftrightarrow \frac{2\sqrt {xy}}{x+y}\leq 1$ ce qui équivaut à $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$ démontré précédemment.
2) Calcul des premiers termes :
$u_0=2\ ;\ v_0=7$
$u_1=4\ ;\ v_1=14$
$u_2=9\ ;\ v_2=28$
$u_3=24\ ; v_3=56$
On peut conjecturer que $v_n=7\times 2^n$, ce qui donne alors pour $u_n=7\times 2^n -2n^2-3n-5$
Il reste à le démontrer en utilisant une récurrence.
C'est vérifié au rang 0.
On suppose $u_n=7\times 2^n -2n^2-3n-5$
On a alors $u_{n+1}=2(7\times 2^n -2n^2-3n-5)+2n^2-n$ soit en développant $u_{n+1}=7\times 2^{n+1}-2n^2-7n-10$
On vérifie : $7\times 2^{n+1}-2(n+1)^2 -3(n+1)-5=7\times 2^{n+1}-2n^2-4n-2-3n-3-5=7\times 2^{n+1}-2n^2-7n-10$
Donc l'expression est vérifiée au rang $(n+1)$
Et on en déduit immédiatement que $v_n=7\times 2^n$
La colonne n donne l'indice, la colonne u donne les valeurs de $u_n$ et la colonne $v$ les valeurs de $v_n$