bonsoir,
z' = z/(z+2)
déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tel que le module de z' soit inférieur à 1 .
même question pour que z' soit un réel positif .
nombres complexes
Re: nombres complexes
Bonjour
1) $|z'|=\frac{|z|}{|z+2|}$ donc $|z'|<1 \Longleftrightarrow |z|<|z+2|$
Soit $A$ le point d'affixe (-2). $|z|=OM$ et $|z+2|=AM$
$OM<AM$ si et seulement si $M$ appartient au demi-plan de frontière la médiatrice de $[AM]$ donc d'équation $x=-1$ et situé à droite de cette médiatrice.
Autre méthode en utilisant la forme algébrique de $z=x+iy$
$|z|=\sqrt {x^2+y^2} $ ; $|z+2|=\sqrt{(x+2)^2+y^2}$
$x^2+y^2<(x+2)^2+y^2 \Longleftrightarrow 0<4x+4$ soit $x>-1$. On retrouve bien le demi-plan précédent.
2) On rend le dénominateur réel en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
$\frac{x+iy}{x+2+iy}=\frac{(x+iy)(x+2-iy)}{(x+2+iy)(x+2-iy)}=\frac{x2+2x+y^2+i(xy+2y-xy)}{(x+2)^2+y^2}$
$y'$ est réel positif si et seulement si le dénominateur est non nul, la partie imaginaire nulle et la partie réelle positive soit :
$\left\{\begin{array}{rcl}(x,y)\neq (-2,0)\\2y=0\\x^2+2x+y^2\geq 0 \end{array}\right.$
$x^2+2x\geq 0 \Longleftrightarrow x(x+2)\geq 0$
L'ensemble des points $M$ est donc la réunion de 2 demi-droites portées par l'axe des abscisses : $]-\infty , -2[ \cup [0, +\infty[$
1) $|z'|=\frac{|z|}{|z+2|}$ donc $|z'|<1 \Longleftrightarrow |z|<|z+2|$
Soit $A$ le point d'affixe (-2). $|z|=OM$ et $|z+2|=AM$
$OM<AM$ si et seulement si $M$ appartient au demi-plan de frontière la médiatrice de $[AM]$ donc d'équation $x=-1$ et situé à droite de cette médiatrice.
Autre méthode en utilisant la forme algébrique de $z=x+iy$
$|z|=\sqrt {x^2+y^2} $ ; $|z+2|=\sqrt{(x+2)^2+y^2}$
$x^2+y^2<(x+2)^2+y^2 \Longleftrightarrow 0<4x+4$ soit $x>-1$. On retrouve bien le demi-plan précédent.
2) On rend le dénominateur réel en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
$\frac{x+iy}{x+2+iy}=\frac{(x+iy)(x+2-iy)}{(x+2+iy)(x+2-iy)}=\frac{x2+2x+y^2+i(xy+2y-xy)}{(x+2)^2+y^2}$
$y'$ est réel positif si et seulement si le dénominateur est non nul, la partie imaginaire nulle et la partie réelle positive soit :
$\left\{\begin{array}{rcl}(x,y)\neq (-2,0)\\2y=0\\x^2+2x+y^2\geq 0 \end{array}\right.$
$x^2+2x\geq 0 \Longleftrightarrow x(x+2)\geq 0$
L'ensemble des points $M$ est donc la réunion de 2 demi-droites portées par l'axe des abscisses : $]-\infty , -2[ \cup [0, +\infty[$
Re: nombres complexes
merci beaucoup