probabilité

[syne1]

Bonjour, je veux de l'aide pour ces deux exercices de probabilité

EXERCICE 1
Une boite contient 10 gâteaux. 5 de ces gâteaux sont parfumés à la vanille, 3 sont parfumés au chocolat et 2 sont parfumés à la banane.
1) Un enfant choisit simultanément 3 gateaux au hasard, dans cette boite.
a) Combien a-t-il de choix possibles?
b) Calculer la probabilité des événements suivants:
A ≪l'enfant choisit trois gâteaux de parfums différents≫
B≪ l'enfant choisit trois gâteaux de même parfums≫.
C≪ l'enfant choisit deux gâteaux à la vanille et un au chocolat≫.
2) L'enfant choisit successivement sans remise dans le même boite contenant dix gâteaux.
a) Quel est le nombre de choix possibles?
b) Calculer la probabilité d'obtenir trois gâteaux de parfums différents.
c) Calculer la probabilité pour que l'enfant choisisse trois gâteaux de même parfums.

EXERCICE 2
Un lycée a choisi ses 15 délégués de classe : 7 garçons et 8 filles, parmi ces dernières, figure MARIANNE. 1) Ces délégués se réunissent pour élire un gouvernement scolaire de cinq membres comprenant : un président, un premier ministre, un ministre de l’intérieur, un ministre de la culture et des sports et un ministre des finances, sans cumul de postes.
a) Quel est le nombre de gouvernements possibles ?
b) Calculer la probabilité des évènements suivants :
A « MARIANNE est élue présidente »
B « Le premier ministre et le ministre des finances sont des filles »
C « Le gouvernement scolaire comprend 2 filles et 3 garçons ».
2) Pour représenter le lycée à un jumelage, ces délégués doivent choisir entre eux une délégation de cinq membres quelconques ne jouant aucun rôle.
a) Combien y a-t-il de délégations possibles ?
b) Calculer la probabilité des événements suivants :
D « la délégation comprend 2 garçons et 3 filles » ;
E « la délégation comprend au moins une fille ».

[Job]

Bonjour

Exercice 1
1) a) Le nombre de choix est une combinaison de 3 éléments pris parmi 10 soit : ${10\choose 3}=C_{10}^3=120$

b) Le nombre de choix pour 3 gâteaux de parfums différents est $C_5^1\times C_3^1\times C_2^1=5\times 3\times 2=30$
$P(A)=\frac{30}{120}=\frac{1}{4}$

Probabilité de choisir 3 gâteaux parfumés à la vanille = $\frac{C_5^3}{120}=\frac{10}{120}$
Probabilité de choisir 3 gâteaux parfumés au chocolat = $\frac{C_3^3}{120}=\frac{1}{120}$
$P(B)=\frac{10}{120}+\frac{1}{120}=\frac{11}{120}$

$P(C)=\frac{C_5^2\times C_3^1}{120}=\frac{10\times 3}{120}=\frac{1}{4}$

2) a) La question est imprécise.
Si on tient compte de l'ordre et en différentiant entre eux les gâteaux de même type, le nombre de choix possibles est un arrangement de 3 éléments parmi 10 soit : $10\times 9\times 8=720$
SI non, on est ramené au cas précédent.

b) Il y a 3 ordres possibles donc le nombre de permutations est $3!=6$
Probabilité : $\frac{5\times 3\times 2\times 6}{720}=\frac{180}{720}=\frac{1}{4}$.

c) Probabilité : $\frac{5\times 4\times 3 +3\times 2\times 1}{720}=\frac{66}{720}=\frac{11}{120}$

Les réponses sont les mêmes que dans la première question : prendre simultanément ou successivement sans remise conduit à la même probabilité.

[Job]

Exercice 2

1) a) Puisque les postes sont différenciés, le nombre de gouvernements possibles est un nombre d'arrangements soit :
$15\times 14\times 13\times 12\times 11=360360$

b) $P(A)=\frac{1}{15}$
$P(B)=\frac{8\times 7}{15\times 14}=\frac{4}{15}$
Pour C, on ne différencie pas les postes donc $P(C)=\frac{C_8^2\times C_7^3}{C_{15}^5}=\frac{28 \times 35}{3003}=\frac{980}{3003}$

2)
a) Le nombre de délégations est $C_{15}^5=3003$

b) $P(D)=\frac{C_7^2\times C_8^3}{3003}=\frac{28\times 56}{3003}=\frac{1568}{3003}$

Le nombre de délégation ne comprenant pas de filles est $C_7^5=21$
$P(E)=1-\frac{21}{3003}=\frac{2982}{3003}=\frac{994}{1001}$