probabilité

[syne1]

Bonjour, je voudrais de l'aide pour ces deux exercices de probabilité.
MERCI D'AVANCE.

[Job]

Bonjour

Exercice 1
A) C'est une question de cours.
1°/ Si $A$ et $B$ sont indépendants, $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$
2°/ $P(C/D)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}$

B) Pour y voir clair, il est recommandé de faire un tableau qu'on remplit au fur et à mesure.

$\begin{vmatrix} &S_2&L_1&L_2&Tot\\G& & & & \\F& & & &0,57 \\Tot&0,2&0,5&& \end{vmatrix}$

1°/a) Puisque 65% des candidats au bac $L_1$ sont des filles $P(L_1\cap F)=0,5\times 0,65=0,325$

b) 40% des candidats au bac $S_2$ sont des filles donc $P(S_2\cap F)=0,2\times 0,4=0,08$

2°/a) $P(F)=P(F\cap S_2) +p(F\cap L_1)+P(F\cap L_2)$ donc $P(F\cap L_2)=0,57-(0,08+0,325)=0,165$

b) $P(L_2)=1-(0,2+0,5)=0,3$
$P(F/L_2)=\frac{P(F\cap L_2)}{P(L_2)}=\frac{0,165}{0,3}=0,55$

3°/ a) $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,2$
Donc $P(X=k)=C_3^k \times 0,2^k \times (1-0,2)^{3-k}$

b) On remplace $k$ successivement par 0, 1, 2, 3.

c) $P(X<3)=1-P(X=3)=1- (1\times 0,2^3\times 0,8^0)=0,992$

d) $E(X)=np=3\times 0,2=0,6$

[Job]

Exercice 2

1°/ Je pose $u(x)=ae^{2x}+b-2e^x$. $f$ est définie si et seulement si $u(x)>0$

a) Si $a<0$ alors $\lim_{x\to +\infty} u(x)=-\infty$ donc $f$ ne peut pas être défini sur ${\mathbb R}$

Soit $a>0$ donc dans le cas de l'exercice $a=1$, $u'(x)=2e^{2x} -2e^x=2e^x(e^x-1)$ du signe de $e^x-1$
Donc $u'(x)\leq 0$ sur ${\mathbb R}^-$ et $u'(x)\geq 0 $ sur ${\mathbb R}^+$
$u(x)$ admet un minimum en 0 et $u(0)=1+b-2=b-1$
Donc, pour que $u(x)>0$ sur $\mathbb R$, il faut que $b>1$

Conclusion : pour que $D_f={\mathbb R}$, on doit avoir $a=1$ et $b=\sqrt 3$.
La probabilité est donc : $\frac{2}{5} \times \frac{1}{2} =\frac{1}{5}$

b) Pour que $D_f$ soit un singleton, il faudrait que $u(x)$ ne prenne qu'une seule valeur strictement positive .
$u$ est une fonction constante si et seulement si $u'(x)=0$ sur $\mathbb R$.
Or $u'(x)=2e^x(ae^x-1)$ donc ceci est impossible.
La probabilité que $D_f$ soit un singleton est nulle.

c) C'est l'événement contraire de a).
(À moins qu'il y ait une erreur de texte et qu'il s'agisse de $D_g$)

Je terminerai plus tard

[Job]

2°/ Il faut déterminer un argument de tous les couples possibles. Exemples :
* $a+ib=-\sqrt 3 -i\ :\ |-\sqrt 3 -i|=\sqrt {3+1}=2\ ;\ \cos \theta =-\frac{\sqrt 3}{2}\ ;\ \sin \theta =-\frac{1}{2}$ donc $arg(-\sqrt 3-i)=-\frac{5\pi}{6}$
* $a=ib=-\sqrt 3 +\sqrt 3 i\ :\ |-\sqrt 3 +\sqrt 3 i|=\sqrt 6\ ;\ \cos \theta =-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 6}=-\frac{1}{\sqrt 2}\ ;\ \sin \theta =\frac{1}{\sqrt 2}$
donc $arg (-\sqrt 3 +\sqrt 3 i)=\frac{3\pi}{4}$

Je vous laisse poursuivre.

3°/ $z=a+ib$
$z+\bar z =|z|\Longleftrightarrow 2a=\sqrt {a^2+b^2} \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}a&\geq& 0\\ 4a^2&=&a^2+b^2\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}a&\geq&0\\b^2&=&3a^2\end{array}\right.$
Solution : $a=1$et $b= \sqrt 3$
Probabilité : $\frac{2}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{5}$

[syne1]

Bonjour et MERCI,
Pour la question 1°/ c) c'est vrai, c'est Dg et non Df

[Job]

Bonjour

$D_g\neq {\mathbb R}$ si le dénominateur peut s'annuler.
Il s'annule, si il existe $x$ tel que $e^x=-a$ ce qui nécessite $a<0$ donc si $a\in \{-\sqrt 3, -1\}$ donc la probabilité est $\frac{3}{5}$.