Bonjour, c'est très urgent pouvez vous m'aider pour cet exercice
On dispose de deux urnes U1 et U2. U1 contient 2 boules blanches et 4 boules vertes. U2 contient 4 boules blanches et 2 boules vertes. Dans chaque urne les tirages sont équiprobables et les urnes ont la même probabilité d'être choisies. On choisit au hasard l'une des urnes et l'on extrait une boule que l'on ne remet dans aucune urne; si la boule est verte, on recommence le tirage dans la même urne; si la boule est blanche, on recommence le tirage dans l'autre urne.
1) Montrer que la probabilité de tirer deux boules blanches est 2/9.
2) Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur +1 si on obtient deux boules de la même couleur et -1 pour deux boules de couleurs distinctes.
Donner la loi de probabilité de X.
3°/ On dit que l'on a obtenu succès si les deux boules sont de même couleur. On répète l'expérience précédentes 5 fois de suite. Y est la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de "succès" parmi les 5 épreuves. Quelle est la probabilité d'avoir 4 succès exactement.
proba
Re: proba
Bonjour
1) $P(B/U1)=\frac{1}{3}$ donc $P(B\cap U1)=P(B/U1)\times P(U1)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
On tire alors une boule de l'urne 2, la probabilité qu'elle soit blanche est alors 4/6.
La probabilité d'avoir 2 boules blanches quand on a tiré en premier une boule blanche de l'urne 1 est donc de $\frac{1}{6}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{9}$
On fait le même raisonnement avec la première boule tirée de l'urne 2. On obtient dans ce cas une probabilité d'avoir 2 boules blanches : $\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac {1}{3}=\frac{1}{9}$
Donc la probabilité de tirer 2 boules blanches est $\frac{1}{9}+\frac{1}{9} = \frac{2}{9}$
2) On fait le même raisonnement que précédemment pour trouver la probabilité de tirer 2 boules vertes mais sans changement d'urne.
Proba de tirer 2 vertes : $\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{3}{5}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{7}{30}$
Donc $P(X=1) = \frac{2}{9}+\frac{7}{30}=\frac{41}{90}$
$P(X=-1)=1-P(X=1)=\frac{49}{90}$
3) Y suit une loi binomiale avec $n=5$ et $p=\frac{41}{90}$
$P(Y=4)=C_5^4\times (\frac{41}{90})^4\times (\frac{49}{90})^1$
1) $P(B/U1)=\frac{1}{3}$ donc $P(B\cap U1)=P(B/U1)\times P(U1)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
On tire alors une boule de l'urne 2, la probabilité qu'elle soit blanche est alors 4/6.
La probabilité d'avoir 2 boules blanches quand on a tiré en premier une boule blanche de l'urne 1 est donc de $\frac{1}{6}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{9}$
On fait le même raisonnement avec la première boule tirée de l'urne 2. On obtient dans ce cas une probabilité d'avoir 2 boules blanches : $\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac {1}{3}=\frac{1}{9}$
Donc la probabilité de tirer 2 boules blanches est $\frac{1}{9}+\frac{1}{9} = \frac{2}{9}$
2) On fait le même raisonnement que précédemment pour trouver la probabilité de tirer 2 boules vertes mais sans changement d'urne.
Proba de tirer 2 vertes : $\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{3}{5}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{7}{30}$
Donc $P(X=1) = \frac{2}{9}+\frac{7}{30}=\frac{41}{90}$
$P(X=-1)=1-P(X=1)=\frac{49}{90}$
3) Y suit une loi binomiale avec $n=5$ et $p=\frac{41}{90}$
$P(Y=4)=C_5^4\times (\frac{41}{90})^4\times (\frac{49}{90})^1$