Bonjour, je voudrais de l(aide pour cet exercice de probabilité.
MERCI D'AVANCE
1) Un industriel produit des balances dans deux usines : A et B. Pour une période donnée, l'usine A fabrique 2400 balances dont 6 % présentent des défauts, l'usine B fabrique 4000 balances dont 7 % présentent des défauts. Ces deux productions sont stockées au centre d'expédition. On prélève au hasard l'une de ces balances.
a) Quelle est la probabilité que la balance prélevée présente un défaut ?
b) Quelle est la probabilité pour que cette balance ne soit pas défectueuse ?
c) Sachant que la balance prélevée est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'usine A ? De l'usine B ? (Donner les résultats arrondis à $10^{-4}$ près.)
2) Des tests sont effectués sur les balances vendues ont montré que 90% de ces balances fonctionnaient encore parfaitement à la fin de la garantie d'un an.
Un hôtelier en achète six. Notons X la variable aléatoire qui compte le nombre de balances parmi ces six qui fonctionnent parfaitement au bout d'un an.
a) Expliquer pourquoi la loi de probabilité de X est une loi binomiale.
b) Quelle est la probabilité pour qu'au bout d'un an : (Donner un arrondi les résultats à $10^{-4}$ près.)
– Toutes les balances fonctionnent ?
– Aucune balance ne fonctionne ?
– Au moins la moitié des balances fonctionnent ?
– Au plus la moitié des balances fonctionnent ?
c) Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type (à $10^{-4}$ près) de X.
probabilité
Re: probabilité
Bonjour
1) a) Pour A, $\frac{2400\times 6}{100}=144$ balances présentent un défaut.
Pour B, $\frac{4000\times 7}{100}=280$ balances présentent un défaut.
Donc 280 + 144 = 424 balances sur 6400 présentent un défaut donc $P(D)=\frac{424}{6400}=0,06625$
b) $1-P(D)= 0,93375$
c) $P(D/A)=\frac{P(D\cap A)}{P(A)}$ donc $P(D\cap A)=0,06\times \frac{2400}{6400}=0,0225$
$P(A/D)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)}=\frac{0,0225}{0,06625}=0,3396$
$P(B/D)=1-P(A/D)=0,6604$
2) a) Les balances sont indépendantes les unes des autres, il y a donc répétition d'une même épreuve donc $X$ suit une loi binomiale avec $n=6$ et $p=0,9$
b) $P(X=6)=0,9^6=0,5314$
$P(X=0)=0,1^6=0,000001$
$P(X=3)=C_6^3\times 0,9^3\times 0,1^3=20 \times 0,9^3\times 0,1^3=0,0146$
$P(X\leq 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0,0158$
c) $E(X)=np=6\times 0,9=5,4$
$V(X)=np(1-p)=5,4\times 0,1=0,54$
1) a) Pour A, $\frac{2400\times 6}{100}=144$ balances présentent un défaut.
Pour B, $\frac{4000\times 7}{100}=280$ balances présentent un défaut.
Donc 280 + 144 = 424 balances sur 6400 présentent un défaut donc $P(D)=\frac{424}{6400}=0,06625$
b) $1-P(D)= 0,93375$
c) $P(D/A)=\frac{P(D\cap A)}{P(A)}$ donc $P(D\cap A)=0,06\times \frac{2400}{6400}=0,0225$
$P(A/D)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)}=\frac{0,0225}{0,06625}=0,3396$
$P(B/D)=1-P(A/D)=0,6604$
2) a) Les balances sont indépendantes les unes des autres, il y a donc répétition d'une même épreuve donc $X$ suit une loi binomiale avec $n=6$ et $p=0,9$
b) $P(X=6)=0,9^6=0,5314$
$P(X=0)=0,1^6=0,000001$
$P(X=3)=C_6^3\times 0,9^3\times 0,1^3=20 \times 0,9^3\times 0,1^3=0,0146$
$P(X\leq 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0,0158$
c) $E(X)=np=6\times 0,9=5,4$
$V(X)=np(1-p)=5,4\times 0,1=0,54$