Bonjour à vous ! Cette semaine, je m'entraîne sur les exponentielles. Je voudrais qu'un spécialiste dans le mathématique m'aider à améliorer ma rédaction.
Exercice 1:
1 ) Donner la définition, l’ensemble de définition et la dérivée de exp(x).
La fonction exponentielle est continu et dérivable sur R et (exp x)' = exp x . La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
2 ) Démontrer les formulations ou relations suivantes :
a ) La fonction exp(x) est strictement croissante sur son ensemble de définition.
On a démontré que la fonction exponentielle est continue et dérivable sur R et (exp)'=expx, et que la fonction exponentielle ne s'annule jamais. Or, par définition, exp(0) = 1 donc pour tout x, exp x > 0. Comme (exp x)' = exp x >0, la fonction exponentielle est strictement croissante.
b ) exp ( x + y )= exp (x) + exp ( y )
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = $\frac{exp(x+y)}{exp x}$ pour y réel fixé. (On sait que exp(x) n'est pas égal à 0 sur R).
La fonction g est dérivable sur R et g'(x) = $\frac{exp(x+y) exp(x) - exp (x + y) exp(x) }{(exp x)²}$ = 0; donc la fonction g est constante sur R, et égale à g(0) = $\frac{ exp(y) }{ exp 0 }$ = exp(y) . D'où $\frac{exp(x+y)}{exp x}$ = exp(y).
Ainsi, pour tous réels x et y, exp(x + y) = exp(x)×exp(y).
c) Démontrer l'unicité de la fonction exp(x).
Désolé, je ne comprends rien à cette question
Propriétés des fonctions exponentielles
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Re: Propriétés des fonctions exponentielles
Bonjour
Dans la première question tu n'as pas défini la fonction exponentielle or la réponse à la question c) dépend de la définition. Je pense que dans ton cours tu as comme définition :
Il existe une fonction $f$ dérivable dur $\mathbb R$ telle que $\left\{\begin{array}{rcl}f'&=&f\\f(0)&=&1\end{array}\right.$.
Il existe une unique fonction $f$ possédant ces propriétés, on l'appelle la fonction exponentielle.
C'est l'unicité qu'on te demande de démontrer dans la question c).
1) On démontre d'abord que $f$ ne s'annule pas.
Soit la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb R$ par $\varphi (x) =f(x) f(-x)$
$\varphi$ est dérivable sur $\mathbb R$ et $\varphi '(x)=f'(x)f(-x)+f(x)(-f'(-x))= f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0$
$\varphi$ est donc constante et $\varphi (0)=(f(0))^2=1$
On en déduit que $\forall x \in {\mathbb R},\ f(x)\neq 0$
2) On suppose qu'il existe une seconde fonction $g$ possédant les mêmes propriétés soit $g'=g$ et $g(0)=1$ et on va démontrer que $f=g$
Soit $h$ définie sur $\mathbb R$ par $h(x)=f(-x)g(x)$
$h$ est dérivable sur $\mathbb R$ :
$h'(x)=-f'(-x)g(x)+f(-x)g'(x)=-f(-x)g(x)+f(-x)g(x)=0$
$h$ est donc constante sur $\mathbb R$ et $h(0)=1$
Donc $\forall x \in {\mathbb R}, f(-x)g(x)=1$
Dans la partie 1, $\varphi(x)=1$ donc $\forall x\in {\mathbb R},\ f(-x)f(x)=f(-x)g(x)$
Or $f$ ne s'annule pas, on peut donc simplifier l'égalité par $f(-x)$ et on obtient $\forall x \in {\mathbb R},\ f(x)=g(x)$
Dans la première question tu n'as pas défini la fonction exponentielle or la réponse à la question c) dépend de la définition. Je pense que dans ton cours tu as comme définition :
Il existe une fonction $f$ dérivable dur $\mathbb R$ telle que $\left\{\begin{array}{rcl}f'&=&f\\f(0)&=&1\end{array}\right.$.
Il existe une unique fonction $f$ possédant ces propriétés, on l'appelle la fonction exponentielle.
C'est l'unicité qu'on te demande de démontrer dans la question c).
1) On démontre d'abord que $f$ ne s'annule pas.
Soit la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb R$ par $\varphi (x) =f(x) f(-x)$
$\varphi$ est dérivable sur $\mathbb R$ et $\varphi '(x)=f'(x)f(-x)+f(x)(-f'(-x))= f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0$
$\varphi$ est donc constante et $\varphi (0)=(f(0))^2=1$
On en déduit que $\forall x \in {\mathbb R},\ f(x)\neq 0$
2) On suppose qu'il existe une seconde fonction $g$ possédant les mêmes propriétés soit $g'=g$ et $g(0)=1$ et on va démontrer que $f=g$
Soit $h$ définie sur $\mathbb R$ par $h(x)=f(-x)g(x)$
$h$ est dérivable sur $\mathbb R$ :
$h'(x)=-f'(-x)g(x)+f(-x)g'(x)=-f(-x)g(x)+f(-x)g(x)=0$
$h$ est donc constante sur $\mathbb R$ et $h(0)=1$
Donc $\forall x \in {\mathbb R}, f(-x)g(x)=1$
Dans la partie 1, $\varphi(x)=1$ donc $\forall x\in {\mathbb R},\ f(-x)f(x)=f(-x)g(x)$
Or $f$ ne s'annule pas, on peut donc simplifier l'égalité par $f(-x)$ et on obtient $\forall x \in {\mathbb R},\ f(x)=g(x)$
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Re: Propriétés des fonctions exponentielles
Merci bien pour les conseils et démonstrations!!!