Exercice sur les complexes

[Jon83]

Bonjour!
Je traite mon dernier exercice de l'année! J'ai déjà résolu la plupart des questions, mais quelques unes me résistent! D'autant plus que la logique séquentielle des questions ne m'apparaît pas évidente ... En voici l'énoncé:

ex_complexes.png (134.75 Kio) Consulté 7471 fois

1) OK
2a) OK
2b) J'ai bien montré le début, mais je n'ai pas réussi à en déduire que (a + conj(a))²+(a + conj(a)-1=0 : je trouve 2a+a^2 + a^3 + 2a^4 ???
2c) j'ai trouvé les 2 solutions de x²+x-1=0 qui sont (-1-sqrt(5)/2 et (-1+sqrt(5))/2.
Pour faire le lien avec la question (2a), j'ai transformé l'expression 1+a+a^2+a^3+a^4 sous sa forme trigonométrique qui donne après simplification 4.cos²(2.pi/5) + 2.cos(2.pi/5) - 1 = 0
Mais je ne vois pas le rapport avec l'équation x^2+x-1=0 ???

[Job]

Bonjour

2. b) $(a+\bar a)^2 +(a+\bar a)-1=a^2+\bar a^2 +2a\bar a +a+\bar a -1$

= $a^2+a^3 +2a\bar a +a+a^4 -1$

$a\bar a =|a|^2 =1$ et on retrouve donc le résultat de la question a).

2. c) $(a+\bar a)=2\Re (a) =2\cos \frac{\pi}{5}$

Donc en posant $x=2\cos \frac{\pi}{5}$ on obtient \donc que $2\cos \frac{\pi}{5}$ est solution de l'équation $x^2+x-1=0$