fonction

Aide au niveau terminale et sujets de baccalauréat.
syne1
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Message par syne1 » 21 janvier 2021, 12:10

Bonjour je voudrais de l'aide pour cet exercice questions 1) et 2)
MERCI D'AVANCE
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Job
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Re: fonction

Message par Job » 21 janvier 2021, 16:53

Bonjour

1) a) $g'(x)=-f'(2-x)+f'(x)$
$\displaystyle f'(2-x)=\frac{1}{1+(2-x-1)^2}=\frac{1}{1+(1-x)^2}=f'(x)$
Donc $g'(x)=0$ et par conséquent $g$ est constante.
$g(1)=f(2-1)+f(1)=2f(1) +0$
Comme $g$ est constante, $\forall x\in {\mathbb R},\ g(x)=0$

b) $\forall x \in {\mathbb R}, f(2-x)=-f(x)$ donc les points de coordonnées $(x,f(x))$ et $(2-x, f(2-x))$ sont symétriques par rapport au point de coordonnées $(\frac{x+(2-x)}{2}; \frac{f(x)+f(2-x)}{2})$ soit le point de coordonnées (1,0).

2) a) $|f'(x)|\leq 1$ donc d'après l'inégalité des accroissements finis, $|f(2)-f(1)| \leq 1|2-1|$ soit $|f(2)-f(1)|\leq 1$
$f'>0$ donc $f$ est croissante et $f(1)=0$ donc l'inégalité précédente s'écrit $f(2)\leq 1$

b) En posant $h(x)=\frac{1}{1-x}$, on a $f'(x)\leq h'(x)$
Avec l'inégalité des accroissements finis, $\forall x \in [2, +\infty[, |f(x)-f(2)|\leq |h(x)-h(2)|$
Sur l'intervalle $[2, +\infty[$, $h$ est une fonction croissante, $h(2)=-1$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} h(x)=0$ donc $h$ est majorée et par conséquent $f$ est majorée.

syne1
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Re: fonction

Message par syne1 » 23 janvier 2021, 13:46

Merci beaucoup;
Pour la question c) comment on encadre la limite L de f en $+\infty$

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