DM suites ( Modèle de Malthus )

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Linaaa3
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DM suites ( Modèle de Malthus )

Message par Linaaa3 » 22 septembre 2020, 20:58

Bonjour à tous,
Pourriez-vous m’aider à faire cet exercice sur le modèle de malthus, je suis désespérée :cry:
Merci d’avance


Dans les années 1800, en se basant sur le rythme de croissance de la population américaine au 18 e siècle, l’économiste anglais Thomas Malthus écrit dans son Essai sur le principe de la population :

Nous pouvons être certains que lorsque la population n’est arrêtée par aucun obstacle, elle double tous les 25 ans, et croît ainsi de période en période selon une progression géométrique. Comparons maintenant l’accroissement de la population à celui de la nourriture. Chaque période de 25 ans ajoute à la production une quantité égale à sa production actuelle. Nous sommes donc en état d’affirmer, Que les moyens de subsistance, ne peuvent jamais augmenter à un rythme plus rapide que celui qui résulte d’une progression arithmétique.

1) L’Angleterre comptait 10 millions d’habitants en 1800 et on suppose que la production agricole pouvait alors nourrir toute la population.
Montrer qu’ alors en moyenne, selon Malthus :
a) La population augmente de 2,8 % par an ;
b) L’agriculture permet de nourrir 0,4 millions d’habitants de plus par an.

2) Pour tout entier n >=0 , pour l’année 1800 + n , on note pn le nombre d’habitants en million en Angleterre et an le nombre d’habitants en million que peut nourrir l’agriculture agricole anglaise selon le modele de Malthus.
Ainsi p0 = a0 = 10
a) Préciser la nature des suites p et a.
b) Conjecturer la limite des suites p et a. Argumenter.
c) d’après de modèle, la production agricole serait-elle suffisante en 1820 pour nourrir toute la population anglaise ? Et en 1830 ?

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Re: DM suites ( Modèle de Malthus )

Message par Job » 23 septembre 2020, 16:31

Bonjour

1) a) Si la population est multipliée par un nombre $q$ d'une année sur l'autre et qu'elle double en 25 ans, on a $q^{25}=2$
En utilisant la calculatrice, on obtient $q=1,028$ donc la population augmente de 2,8% par an.

b) En millions $\frac{10}{25} =0,4$ donc on peut nourrir 0,4 millions d'habitants de plus par an.

2) a) $p_{n+1}=p_n +p_n\times 0,028 =p_n(1+0,028)=p_n\times 1,028$
$p$ est une suite géométrique de raison 1,028.

$a_{n+1}=a_n+0,4$ donc $a$ est une suite arithmétique de raison 0,4.

b) Comme la raison de la suite $p$ est supérieure à 1, elle a pour limite + l'infini.
La raison de la suite $a$ est positive donc la limite est + l'infini.

c) $p_{20} =p_0\times 1,028^{20}=10\times 1,028^{20}\simeq 17,372.$

$a_{20} =a_0 +20\times 0,4 =10+20\times 0,4=28$

$a_{20}>p_{20}$ donc la production agricole est suffisante.

On fait le même calcul avec 30 au lieu de 20 (vous allez obtenir que la production agricole n'est pas suffisante)

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