Bonjour ;
Pourriez vous m'aider (je suis sur le compte de mon frère ) , à faire l'exercice sur les études de fonctions;
merci par avance
fonctions dérivée
fonctions dérivée
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Re: fonctions dérivée
Bonjour
1) $f'(x)=\frac{1}{3} (3x^2)-\frac{1}{2} (2x)-6=x^2-x-6$
Il faut donc étudier le signe du trinôme $x^2-x-6$. Les racines sont (-2) et 3 (détaillez les calculs)
En utilisant la règle sur le signe du trinôme, on obtient le signe de la dérivée et on en déduit que $f$ est croissante sur les intervalles $]-\infty , -2]$ et $[3,+\infty[$ et décroissante sur l'intervalle [-2 , 3].
2) minimum local : $(3, \frac{21}{2})$. Maximum local : $(-2, \frac{94}{3})$
3) Sur l'intervalle $[-2 , +\infty[$, la valeur minimale de $f$ est $\frac{21}{2}$ donc $f$ est toujours positive sur l'intervalle.
4) $f(6)=42$ et $f'(6)=24$
Équation de la tangente : $y=f'(6) (x-6) +f(6)$ soit $y=24(x-6)+42$ ; $y=24x-102$
5) $f(x)-(24 x -102)=\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{2} x^2 -6x+24-24 x +102 =\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{2} x^2 -30 x +126=g(x)$
Il faut étudier le signe de $g(x)$. Pour cela on calcule la dérivée : $g'(x)=x^2-x-30$
Les racines de $g'(x)$ sont (-5) et 6. On peut donc étudier le signe de $g'(x)$
Sur l'intervalle [0, 10], $g$ admet un minimum pour $x=6$ et $g(6)=0$
Donc sur l'intervalle [0, 10], $g(x)\geq 0$ donc $f(x)\geq 24 x-102$ et par conséquent, la courbe est au-dessus de la tangente.
6) $T_6$ a pour coefficient directeur 24. On aurait une autre tangente de même coefficient directeur si l'équation $f'(x)=24$ admet une seconde racine.
$x^2-x-6=24$
$x^2-x-30=0$. Équation résolue plus haut : l'autre racine est (-5)
$T_{-5}$ a pour équation $y=24 (x-(-5))+f(-5)=24x+120-\frac{1}{6}=24 x +\frac{719}{6}$
Je suis allée assez vite, vérifiez les calculs.
1) $f'(x)=\frac{1}{3} (3x^2)-\frac{1}{2} (2x)-6=x^2-x-6$
Il faut donc étudier le signe du trinôme $x^2-x-6$. Les racines sont (-2) et 3 (détaillez les calculs)
En utilisant la règle sur le signe du trinôme, on obtient le signe de la dérivée et on en déduit que $f$ est croissante sur les intervalles $]-\infty , -2]$ et $[3,+\infty[$ et décroissante sur l'intervalle [-2 , 3].
2) minimum local : $(3, \frac{21}{2})$. Maximum local : $(-2, \frac{94}{3})$
3) Sur l'intervalle $[-2 , +\infty[$, la valeur minimale de $f$ est $\frac{21}{2}$ donc $f$ est toujours positive sur l'intervalle.
4) $f(6)=42$ et $f'(6)=24$
Équation de la tangente : $y=f'(6) (x-6) +f(6)$ soit $y=24(x-6)+42$ ; $y=24x-102$
5) $f(x)-(24 x -102)=\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{2} x^2 -6x+24-24 x +102 =\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{2} x^2 -30 x +126=g(x)$
Il faut étudier le signe de $g(x)$. Pour cela on calcule la dérivée : $g'(x)=x^2-x-30$
Les racines de $g'(x)$ sont (-5) et 6. On peut donc étudier le signe de $g'(x)$
Sur l'intervalle [0, 10], $g$ admet un minimum pour $x=6$ et $g(6)=0$
Donc sur l'intervalle [0, 10], $g(x)\geq 0$ donc $f(x)\geq 24 x-102$ et par conséquent, la courbe est au-dessus de la tangente.
6) $T_6$ a pour coefficient directeur 24. On aurait une autre tangente de même coefficient directeur si l'équation $f'(x)=24$ admet une seconde racine.
$x^2-x-6=24$
$x^2-x-30=0$. Équation résolue plus haut : l'autre racine est (-5)
$T_{-5}$ a pour équation $y=24 (x-(-5))+f(-5)=24x+120-\frac{1}{6}=24 x +\frac{719}{6}$
Je suis allée assez vite, vérifiez les calculs.