Bonsoir;
Pourriez vous m'aider concernant l'exercice 1, 2 et 4 de la feuille ci jointe ;
Merci de votre aide par avance;
proba
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Re: proba
Bonjour
Exercice 1
1) Un nombre est une issue de A si son chiffre des dizaines est 3 ou si son chiffre des unités est 3.
Le nombre d'issues de A est donc : 10 + 10 - 1= 19. (On retranche 1 car 33 appartient aux deux sous-ensembles).
$p(A)=\frac{19}{100}$ et $p(\bar A)=1-\frac{19}{100}=\frac{81}{100}$
2) B comprend 21 issues : les nombres qui ont 8 ou 9 pour chiffre des dizaines et le nombre 100.
$p(B)=\frac{21}{100}$
3) $A\cap B$ comprend les issues 83 et 93 donc $p(A\cap B)=\frac{2}{83}$
$p(A\cup B) =p(A)+p(B)-p(A\cap B)=\frac{38}{100}$
Exercice 2
a) Il y a au total 10 jetons.
$p(J)=\frac{3}{10}\ ;\ p(B)=\frac{2}{10}\ ;\ p(R)=\frac{1}{10}\ ;\ p(V)=\frac{4}{10}$
b) $p(X=10)=p(J)=\frac{3}{10}\ ;\ p(X=2)=p(B)=\frac{2}{10}\ ;\ P(X=3)=p(R\cup V)=p(R)+p(V)=\frac{5}{10}$
c) $p(X=3)=\frac{3}{10}\ ;\ p(X=m)=\frac{2}{10}\ ;\ p(X=10)=\frac{1}{10}\ ;\ p(X=2)=\frac{4}{10}$.
$E(X)=3\times \frac{3}{10} + m\times \frac{2}{10} +10\times \frac{1}{10} +2\times \frac{4}{10} =\frac{27+2m}{10}$
$\frac{27+2m}{10}=4,5$
$27+2m=45$
$m=9$
Exercice 3
$E(aX+b)=aE(X)+b$ donc $E(Y)=-\frac{2}{3} \times 11 +\frac{1}{3}= -7$
$V(aX+b)=a^2 V(X)$ donc $V(Y)=\frac{4}{9} \times 3=\frac{4}{3}$
Exercice 4
1. $n-5$ jetons noirs.
2. Premières branches : $R_1$ avec $p=\frac{5}{n}$ et $N_1$ avec $p=\frac{n-5}{n}$
Secondes branches à partir de $R_1$ : $R_2$ avec $p=\frac{4}{n-1}$ et $N_2$ avec $p=\frac{n-5}{n-1}$
Secondes branches à partir de $N_1$ : $R_2$ avec $p=\frac{5}{n-1}$ et $N_2$ avec $p=\frac{n-6}{n-1}$
3. Au premier tirage, il y a $n$ issues et $n-1$ issues au second tirage car il n'y a pas remise du jeton tiré.
Donc $n(n-1)=n^2-n$ issues.
4. Pour l'événement A on peut avoir $R_1$ suivie ce $N_2$ ou $N_1$ suivie de $R_2$ donc $2(5\times (n-5))$ issues.
5. $p(A)=\frac{10(n-5)}{n(n-1)}$
6. a) $P(X=2)=\frac{10(n-5)}{n(n-1)}$ et $P(X=-1)=1-\frac{10(n-5)}{n(n-1)}=\frac{n^2-11n+50}{n(n-1)}$
$E(X)=2\times \frac{10(n-5)}{n(n-1)}+(-1)\times \frac{n^2-11n+50}{n(n-1)}=\frac{-n^2+31n-150}{n(n-1)}$
b) Le jeu est équitable si $E(X)=0$ soit $-n^2+31n-150=0$
$\Delta =361$ les racines sont : $\frac{-31-19}{-2}=25$ et $\frac{-31+19}{-2}=6$
2 valeurs possibles pour $n$.
Exercice 1
1) Un nombre est une issue de A si son chiffre des dizaines est 3 ou si son chiffre des unités est 3.
Le nombre d'issues de A est donc : 10 + 10 - 1= 19. (On retranche 1 car 33 appartient aux deux sous-ensembles).
$p(A)=\frac{19}{100}$ et $p(\bar A)=1-\frac{19}{100}=\frac{81}{100}$
2) B comprend 21 issues : les nombres qui ont 8 ou 9 pour chiffre des dizaines et le nombre 100.
$p(B)=\frac{21}{100}$
3) $A\cap B$ comprend les issues 83 et 93 donc $p(A\cap B)=\frac{2}{83}$
$p(A\cup B) =p(A)+p(B)-p(A\cap B)=\frac{38}{100}$
Exercice 2
a) Il y a au total 10 jetons.
$p(J)=\frac{3}{10}\ ;\ p(B)=\frac{2}{10}\ ;\ p(R)=\frac{1}{10}\ ;\ p(V)=\frac{4}{10}$
b) $p(X=10)=p(J)=\frac{3}{10}\ ;\ p(X=2)=p(B)=\frac{2}{10}\ ;\ P(X=3)=p(R\cup V)=p(R)+p(V)=\frac{5}{10}$
c) $p(X=3)=\frac{3}{10}\ ;\ p(X=m)=\frac{2}{10}\ ;\ p(X=10)=\frac{1}{10}\ ;\ p(X=2)=\frac{4}{10}$.
$E(X)=3\times \frac{3}{10} + m\times \frac{2}{10} +10\times \frac{1}{10} +2\times \frac{4}{10} =\frac{27+2m}{10}$
$\frac{27+2m}{10}=4,5$
$27+2m=45$
$m=9$
Exercice 3
$E(aX+b)=aE(X)+b$ donc $E(Y)=-\frac{2}{3} \times 11 +\frac{1}{3}= -7$
$V(aX+b)=a^2 V(X)$ donc $V(Y)=\frac{4}{9} \times 3=\frac{4}{3}$
Exercice 4
1. $n-5$ jetons noirs.
2. Premières branches : $R_1$ avec $p=\frac{5}{n}$ et $N_1$ avec $p=\frac{n-5}{n}$
Secondes branches à partir de $R_1$ : $R_2$ avec $p=\frac{4}{n-1}$ et $N_2$ avec $p=\frac{n-5}{n-1}$
Secondes branches à partir de $N_1$ : $R_2$ avec $p=\frac{5}{n-1}$ et $N_2$ avec $p=\frac{n-6}{n-1}$
3. Au premier tirage, il y a $n$ issues et $n-1$ issues au second tirage car il n'y a pas remise du jeton tiré.
Donc $n(n-1)=n^2-n$ issues.
4. Pour l'événement A on peut avoir $R_1$ suivie ce $N_2$ ou $N_1$ suivie de $R_2$ donc $2(5\times (n-5))$ issues.
5. $p(A)=\frac{10(n-5)}{n(n-1)}$
6. a) $P(X=2)=\frac{10(n-5)}{n(n-1)}$ et $P(X=-1)=1-\frac{10(n-5)}{n(n-1)}=\frac{n^2-11n+50}{n(n-1)}$
$E(X)=2\times \frac{10(n-5)}{n(n-1)}+(-1)\times \frac{n^2-11n+50}{n(n-1)}=\frac{-n^2+31n-150}{n(n-1)}$
b) Le jeu est équitable si $E(X)=0$ soit $-n^2+31n-150=0$
$\Delta =361$ les racines sont : $\frac{-31-19}{-2}=25$ et $\frac{-31+19}{-2}=6$
2 valeurs possibles pour $n$.