problème ouvert

[nico033]

Bonsoir ;

Je suis bloqué sur l'exercice ouvert que je dois rendre, pourriez vous m'aider à le résoudre svp

Soit la fonction f définie sur IR par fx) = x^2-1 et C la courbe représentative dans un repère (O, i ,j)
C admet une tangente en M (a, b) avec a supérieur à 0 et b < 0
elle coupe l'axe des abscisses au point A et celui des ordonnées au point B
Déterminer la position de M pour que le triangle OAB soit minimale

[nico033]

Re Bonsoir;

Déterminer la position du point M pour que l'aire du triangle OAB soit minimale

excusez moi de cet oubli ....

[Job]

Bonjour et Bonne année

Soit le point $M$ d'abscisse $a$, avec $0<a<1$
Équation de la tangente en $M$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ soit $y=2a(x-a)+a^2-1$ $y=2ax-a^2-1$
$A$ a pour ordonnée 0 donc $x_A=\frac{a^2+1}{2a}$
$B$ a pour abscisse 0 donc $y_B=-a^2-1$

Donc $OA=\frac{a^2+1}{2a}$ et $OB=a^2+1$ car l'ordonnée de $B$ est négative.
Aire de $OAB$ : $\frac{1}{2} \times \frac{a^2+1}{2a}\times (a^2+1)=\frac{(a^2+1)^2}{4a}$

On étudie la fonction $g$ définie sur ]0 , 1[ par $g(x)=\frac{(x^2+1)^2}{4x}$
$g'(x)= \frac{2(2x)(x^2+1)(4x)-4(x^2+1)^2}{16x^2}=\frac{(x^2+1)(16x^2-4(x^2+1))}{16x^2}=\frac{(x^2+1)(4)(3x^2-1)}{16x^2}$
La dérivée a donc le signe de $3x^2-1$.
Sur ]0 , 1[ , elle s'annule pour $x=\frac{1}{\sqrt 3}=\frac{\sqrt 3}{3}$
Elle est négative pour $x\in ]0 , \frac{\sqrt 3}{3}]$ et positive pour $x\in [\frac{\sqrt 3}{3}, 1[$
La fonction $g$ est donc décroissante sur l'intervalle $]0 , \frac{\sqrt 3}{3}]$ et croissante sur l'intervalle $[\frac{\sqrt 3}{3}, 1[$
Elle admet donc un un minimum pour $x=\frac{\sqrt 3}{3}$
L'aire de $OAB$ est donc minimale lorsque le point $M$ a pour abscisse $x=\frac{\sqrt 3}{3}$ et pour ordonnée $-\frac{2}{3}$.