volume

[nico033]

Bonjour ;

J'ai un souci avec cet exercice , pourriez vous m'aider à le résoudre svp (merci par avance )

Soit S une sphère de centre O et de rayon 1. Soit BB' un diamètre de cette sphère
M est un point libre sur le segment OB et M' le symétrique par rapport à 0. On considère le cylindre inscrit dans la sphère de hauteur MM'

On pose OM = x
déterminer le rayon du cercle de base du cylindre de centre M en fonction de x
en déduire le volume du cylindre en fonction de x
Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume du cylindre est maximal

[nico033]

Bonjour ;

Pourriez vous m'aider à résoudre mon problème sur les volumes .
merci par avance

[Job]

Bonjour

Soit $A$ un point du cercle de base du cylindre. Le rayon de la base est $MA$
Le triangle $OMA$ est rectangle en $M$ donc $MA^2 = OA^2-OM^2=1-x^2$. Le rayon de la vase est donc $\sqrt{1-x^2}$.

Volume du cylindre = aire de la base x hauteur = $\pi r^2\times (2x)=\pi (1-x^2)(2x)=\pi (-2x^3+2x)$

On étudie la fonction définie sur $[0 , 1]$ par $f(x)=-2x^3+2x$
$f''(x)=-6x^2 +2 =2(-3x^2+1)$
$f'$ s'annule pour $x^2=\frac{1}{3}$ soit $x=\frac{1}{\sqrt 3}$
$f'(x)>0$ pour $-3x^2+1>0$ soit $x^2<\frac{1}{3}$ donc $x<\frac{1}{\sqrt 3}$
La fonction $f$ est donc croissante sur l'intervalle $[0, \frac{1}{\sqrt 3}]$ et décroissante sur $[\frac{1}{\sqrt 3}, 1]$
Elle admet donc un maximum pour $x=\frac{1}{\sqrt 3}$. Le volume du cylindre est donc maximal pour cette valeur