Bonjour, je voudrais de l'aide pour ces exercices de dénombrement qui me posent problèmes
EXERCICE 1
Une urne contient 10 boules numérotés de 0 à 9. On tire 4 boules de cette urne.
1) Combien peut-on obtenir des nombres distincts de 4 chiffres (dont le premier est non nul) dans chacun des cas suivants:
a) les 4 boules sont tirées successivement et sans remise
b) les 4 boules sont tirées successivement avec remise
2) On tire simultanément 4 boules.
a) Combien de tirages différents peut-on réaliser?
b) Avec chacun des tirages, combien de nombres de 4 chiffres peut-on former?
Retrouver le résultat de la question 1-a).
EXERCICE 2
1) De combien de façons peut-on placer six convives autour d'une table dont les sièges sont numérotées de 1 à 6?
2) De combien de façons peut-on placer les convives sachant qu'il y a 3 femmes et 3 hommes et que l'on alterne hommes et femmes?
3) De combien de façons peut-on placer les convives si Mr X veut s'asseoir à coté de Mme Y ?
EXERCICE 3
Un sac contient 8 boules blanches numérotés de 1 à 8; 4 boules rouges numérotées de 1 à 4 et 2 boules noires numérotées de 1 et 2.
1) Ont ire simultanément 3 boules du sac. Calculer le nombre de tirages pour que parmi les trois boules tirées:
a) il y ait 3 boules de couleurs différentes;
b) il y ait une boule noire ou deux boules blanches.
c) il y ait une boule rouge et 1 boule portant le numéro 2.
d) il y ait 3 boules portant les numéros 1 ou 2.
2) On tire successivement sans remise 3 boules du sac. Combien y a-t-il de façons d'obtenir:
a) 1 boule blanche; 1 boule noire et 1 boule rouge dans cet ordre.
b) 1 boule blanche; 1 boule noire et 1 boule rouge.
c) 3 boules portant des numéros dont la somme est égale à 5.
3) On tire successivement avec remise 3 boules du sac. De combien de manières peut-on obtenir:
a) 3 boules de même couleur.
b) 3 boules portant des numéros identiques
c) Au moins une boule blanche.
d) Au plus 3 boules rouges.
dénombrement
Re: dénombrement
Bonjour
Exercice 1
1) a) Le premier chiffre devant être non nul, il y a 9 possibilités.
Le deuxième chiffre est différent du premier puisque le tirage a lieu sans remise, il y a à nouveau 9 possibilités (le zéro est réincorporé)
Le troisième chiffre est différent des 2 premiers donc 8 possibilités et pour le quatrième différent des 3 premiers 7 possibilités.
On peut donc obtenir : 9 x 9 x 8 x 7 = 4536 nombres distincts.
b) Pour le premier chiffre, il y a aussi 9 possibilités.
Pour les 3 suivants, 10 possibilités puisque le tirage a lieu avec remise .
On peut donc obtenir : 9 x 10 x 10 x 10 = 9000 nombres distincts . (le plus petit est 1000 et le plus grand 9999)
2) a) Un tirage est une combinaison de 4 boules parmi 10 donc le nombre de tirages différents est :
${10\choose 4}=C_{10}^4=210$
b) Le nombre de nombres de 4 chiffres que l'on peut former avec un tirage est égal au nombre de permutations d'un ensemble de 4 éléments soit : 4! = 24.
Si on excluait pas le zéro à la première place, le nombre de nombres formés seraient donc : 210 x 24 = 5040.
Le nombre de tirages contenant le zéro est égal à ${9\choose 3}=C_9^3=84$ et avec un tel tirage, il y a 3! = 6 permutations qui commencent par 0 donc 84 x 6 = 504 nombres à exclure.
5040 - 504 = 4536 et on retrouve le résultat de la question 1) a).
Je ferai les exercices petit à petit.
Exercice 1
1) a) Le premier chiffre devant être non nul, il y a 9 possibilités.
Le deuxième chiffre est différent du premier puisque le tirage a lieu sans remise, il y a à nouveau 9 possibilités (le zéro est réincorporé)
Le troisième chiffre est différent des 2 premiers donc 8 possibilités et pour le quatrième différent des 3 premiers 7 possibilités.
On peut donc obtenir : 9 x 9 x 8 x 7 = 4536 nombres distincts.
b) Pour le premier chiffre, il y a aussi 9 possibilités.
Pour les 3 suivants, 10 possibilités puisque le tirage a lieu avec remise .
On peut donc obtenir : 9 x 10 x 10 x 10 = 9000 nombres distincts . (le plus petit est 1000 et le plus grand 9999)
2) a) Un tirage est une combinaison de 4 boules parmi 10 donc le nombre de tirages différents est :
${10\choose 4}=C_{10}^4=210$
b) Le nombre de nombres de 4 chiffres que l'on peut former avec un tirage est égal au nombre de permutations d'un ensemble de 4 éléments soit : 4! = 24.
Si on excluait pas le zéro à la première place, le nombre de nombres formés seraient donc : 210 x 24 = 5040.
Le nombre de tirages contenant le zéro est égal à ${9\choose 3}=C_9^3=84$ et avec un tel tirage, il y a 3! = 6 permutations qui commencent par 0 donc 84 x 6 = 504 nombres à exclure.
5040 - 504 = 4536 et on retrouve le résultat de la question 1) a).
Je ferai les exercices petit à petit.
Re: dénombrement
Exercice 2
1) Le nombre de façons de placer les 6 convives est égal au nombre de permutations d'un ensemble de 6 éléments donc c'est égal à $6!=720$
2) Globalement il y a 2 possibilités : les hommes occupent soit les numéros pairs soit les numéros impairs.
Ceci étant fixé, il y a alors $3!$ possibilités pour répartir les hommes et même chose pour les femmes.
Le nombre de façons est donc : $2 \times 3! \times 3! = 72$.
3) Mme Y s'assoit, elle a 6 possibilités. Mr X a alors 2 possibilités. Et pour les 4 autres convives, on a une permutation d'un ensemble de 4 éléments.
Le nombre de façons est donc : $6 \times 2 \times 4! = 6 \times 2 \times 24 = 288$.
1) Le nombre de façons de placer les 6 convives est égal au nombre de permutations d'un ensemble de 6 éléments donc c'est égal à $6!=720$
2) Globalement il y a 2 possibilités : les hommes occupent soit les numéros pairs soit les numéros impairs.
Ceci étant fixé, il y a alors $3!$ possibilités pour répartir les hommes et même chose pour les femmes.
Le nombre de façons est donc : $2 \times 3! \times 3! = 72$.
3) Mme Y s'assoit, elle a 6 possibilités. Mr X a alors 2 possibilités. Et pour les 4 autres convives, on a une permutation d'un ensemble de 4 éléments.
Le nombre de façons est donc : $6 \times 2 \times 4! = 6 \times 2 \times 24 = 288$.
Re: dénombrement
Exercice 3
1) a) Il y a 8 possibilités pour la boule blanche, 4 pour la rouge et 2 pour la noire donc : 8 x 4 x 2 = 64 tirages possibles.
b) Le nombre de possibilités pour les blanches est ${8\choose 2}= C_8^2=28$ et pour la noire, 2 possibilités.
Soit 28 x 2 = 56 tirages.
c) 2 sortes de tirages possibles. Soit la rouge porte le numéro 2 et ce tirage répond à la question. Les 2 autres boules sont à choisir parmi les 7 +1 boules qui ne sont pas rouges et ne portent pas le numéro 2 soit ${8\choose 2}=C_8^2 = 28 $ tirages.
Soit la rouge est une des 3 autres et celle qui porte le numéro 2 est blanche ou noire donc la dernière est à prendre parmi 7 + 1 boules qui ne sont pas rouges et ne portent pas le numéro 2. Il y a donc 3 x 2 x 8 = 48 tirages de ce type.
Donc au total : 28 + 48 = 76 tirages.
d) Il y a au total 6 boules portant les numéros 1 ou 2. C'est donc un tirage de 3 boules parmi 6.
Nombre de tirages : ${6\choose 3}=C_6^3= 20$
2) a) L'intitulé n'est pas clair il y a une seule façon d'avoir dans l'ordre une blanche, une noire, une rouge donc 8 x 2 X 4 = 64 tirages.
b) Pour un ensemble à 3 éléments, il y a 3! =6 permutations possibles donc nombre de tirages sans tenir compte de l'ordre = 64 x 6 = 384.
c) Pour que la somme soit égale à 5, on peut avoir comme numéros :
* (3 - 1- 1) avec 2 possibilités pour le numéro 3 (B ou R) et ${3\choose 2}=C_3^2=3$ possibilités pour 2 boules parmi les 3 portant le numéro 1 donc 2 x 3 = 6 tirages.
* (2 - 2- 1) avec ${3\choose 2}=C_3^2=3$ possibilités pour les 32 boules parmi 3 portant le numéro 2 et 3 possibilités pour une boule portant le numéro 1 donc 3 x 3 = 9 tirages.
Donc au total 15 tirages.
3) a) 3 boules rouges : $8^3=512$ ; 3 boules rouges : $4^3=64$ ; 3 boules noires : $2^3=8$
512 + 64 + 8 = 584.
b) Pour les numéros 1 ou 2 : $3^3=27$
Pour les numéros 3 ou 4 : $2^3=8$
Pour les numéros de 5 à 8 une possibilité pour chaque.
Au total : $27\times 2 +8\times 2 +1\times 4= 74$ tirages possibles.
c) Nombre total de tirages : $(8+4+2)^3=2744$
Nombre de tirages ne comportant pas de boule blanche : $(4+2)^3=216$
Nombre de tirages comportant au moins une blanche : 2744 - 216 = 2528.
d) Au plus 3 rouges signifie 3 ou 2 ou 1 ou 0 rouges donc tous les tirages conviennent soit 2744 tirages.
La question 2 pose problème. Le fait qu'il n'y ait pas de remise ne joue pas. Il jouerait si il s'agissait de probabilités.
1) a) Il y a 8 possibilités pour la boule blanche, 4 pour la rouge et 2 pour la noire donc : 8 x 4 x 2 = 64 tirages possibles.
b) Le nombre de possibilités pour les blanches est ${8\choose 2}= C_8^2=28$ et pour la noire, 2 possibilités.
Soit 28 x 2 = 56 tirages.
c) 2 sortes de tirages possibles. Soit la rouge porte le numéro 2 et ce tirage répond à la question. Les 2 autres boules sont à choisir parmi les 7 +1 boules qui ne sont pas rouges et ne portent pas le numéro 2 soit ${8\choose 2}=C_8^2 = 28 $ tirages.
Soit la rouge est une des 3 autres et celle qui porte le numéro 2 est blanche ou noire donc la dernière est à prendre parmi 7 + 1 boules qui ne sont pas rouges et ne portent pas le numéro 2. Il y a donc 3 x 2 x 8 = 48 tirages de ce type.
Donc au total : 28 + 48 = 76 tirages.
d) Il y a au total 6 boules portant les numéros 1 ou 2. C'est donc un tirage de 3 boules parmi 6.
Nombre de tirages : ${6\choose 3}=C_6^3= 20$
2) a) L'intitulé n'est pas clair il y a une seule façon d'avoir dans l'ordre une blanche, une noire, une rouge donc 8 x 2 X 4 = 64 tirages.
b) Pour un ensemble à 3 éléments, il y a 3! =6 permutations possibles donc nombre de tirages sans tenir compte de l'ordre = 64 x 6 = 384.
c) Pour que la somme soit égale à 5, on peut avoir comme numéros :
* (3 - 1- 1) avec 2 possibilités pour le numéro 3 (B ou R) et ${3\choose 2}=C_3^2=3$ possibilités pour 2 boules parmi les 3 portant le numéro 1 donc 2 x 3 = 6 tirages.
* (2 - 2- 1) avec ${3\choose 2}=C_3^2=3$ possibilités pour les 32 boules parmi 3 portant le numéro 2 et 3 possibilités pour une boule portant le numéro 1 donc 3 x 3 = 9 tirages.
Donc au total 15 tirages.
3) a) 3 boules rouges : $8^3=512$ ; 3 boules rouges : $4^3=64$ ; 3 boules noires : $2^3=8$
512 + 64 + 8 = 584.
b) Pour les numéros 1 ou 2 : $3^3=27$
Pour les numéros 3 ou 4 : $2^3=8$
Pour les numéros de 5 à 8 une possibilité pour chaque.
Au total : $27\times 2 +8\times 2 +1\times 4= 74$ tirages possibles.
c) Nombre total de tirages : $(8+4+2)^3=2744$
Nombre de tirages ne comportant pas de boule blanche : $(4+2)^3=216$
Nombre de tirages comportant au moins une blanche : 2744 - 216 = 2528.
d) Au plus 3 rouges signifie 3 ou 2 ou 1 ou 0 rouges donc tous les tirages conviennent soit 2744 tirages.
La question 2 pose problème. Le fait qu'il n'y ait pas de remise ne joue pas. Il jouerait si il s'agissait de probabilités.