devoir maison vecteur

[nico033]

Bonsoir;

Je n'arrive pas à faire mon devoir maison que je dois faire pour lundi ,

Pourriez vous m'aidez svp (merci par avance)
Tracer un triangle ABC puis son orthocentre, ,son centre de gravité et le centre du cercle circonscrit . Que remarque t'on ?
On considère un triangle ABC. On d&signe par A' , B' et C' les milieux respectifs des cotés BC, AC et AB et par O le centre du cercle circonscrit à ce triangle
on désigne par G le centre de gravité du triangle ABC et on admet que GA + GB + GC = vecteur nul
Soit K le point défini par OK = OA + OB + OC
Démontrer que OK = 3 OG;
Démontrer que AK = OB + OC = 2OA' en déduire que (KA) et (BC) sont orthogonales
Démontrer que K est l'orthocentre du triangle ABC
Qu'a t'on ainsi démontré ?

[Job]

Bonjour

On remarque que les 3 points sont alignés.

$\overrightarrow{OK}=(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC})=3\overrightarrow{OG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=3\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{OG}$

$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'B})+(\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'C})=2\overrightarrow{OA'}+(\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{A'C})=2\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{0}$ car $A'$ est le milieu de $[BC]$

$\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{OA'}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{AK}$ et $\overrightarrow{OA'}$ sont colinéaires . Par conséquent la droite $(KA)$ est parallèle à le droite $(OA')$.
Or $(OA')$ est la médiatrice de $[BC]$ donc perpendiculaire à $(BC)$. Par conséquent $(AK)$ est perpendiculaire à $(BC)$

$(AK)$ est perpendiculaire à $(BC)$ donc c'est une hauteur du triangle $ABC$.
On démontrerait de même que $(BK)$ est une hauteur du triangle donc $K$ est l'orthocentre du triangle.

$\overrightarrow{OK}=3\overrightarrow{OG}$ donc ces vecteurs sont colinéaires et par conséquent les points $O,G,K$ sont alignés.

Dans un triangle, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre sont alignés.
(La droite qui les porte est appelée la droite d'Euler)

[alexandre]

bonjour,

"On démontrerait de même que (BK)(BK) est une hauteur du triangle donc KK est l'orthocentre du triangle"
je ne comprend pas comment ,pouvez vous rediger de facon mathematique comment faire?

[Job]

Bonjour

Dans la dernière rubrique du forum : utilisation du forum et suggestions, il y a un tutoriel par Alexis : "comment écrire des formules mathématiques"

[alexandre]

oui merci
mais je ne comprend pas comment on demontre que (BK) est une hauteur du triangle

[Job]

Il suffit de reprendre les mêmes calculs :
* montrer que $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$
* montrer que $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OB'}$
* on déduit que les vecteurs $\overrightarrow{BK}$ et $\overrightarrow{OB'}$ sont colinéaires et par conséquent $(BK)$ est parallèle à $(OB')$ qui est médiatrice de $[AC]$