vecteur

[nico033]

Bonjour ;

Pourriez vous m'aidez sur cet exercice dont je bloque depuis hier après midi ;

ABC est un triangle
I et J milieux respectifs de AB et AC et un point G tel que CG = 2/3 CI
On doit montrer que GBI sont alignés et que GA + GB + BC = O (vecteur nul)

[nico033]

C'est GBJ qui doivent être alignés excusez moi !!

[nico033]

Il n'y aurait il pas une erreur dans mon énoncé ?

[Job]

Bonjour

$\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AJ}$
$\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ}$
En additionnant membre à membre, : $2\overrightarrow{BJ}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{CJ})=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{0}$
Donc $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2} (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$

$\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3} \overrightarrow{CI}=\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI})=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \overrightarrow{BA}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$

$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BJ}=3\overrightarrow{BG}$ donc $\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3} \overrightarrow{BJ}$. Les vecteurs $\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{BI}$ sont donc colinéaires et par conséquent les points $B,G,J$ sont alignés.

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=(\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IB})=2\overrightarrow{GI}+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})=2\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GC}=2(\frac{1}{3}\overrightarrow{CI})+(-\frac{2}{3}\overrightarrow{CI})=\overrightarrow{0}$