équation avec paramètre

[syne1]

Bonsoir je cherche de l'aide pour cet exercice. Merci d'avance

[Job]

Bonjour

Je ne détaillerai pas tous les calculs et les réponses sont à vérifier

1°/ Si $m=2$, l'équation est du premier degré et admet comme solution $x=\frac{1}{4}$
Si $m\neq 2$ alors $\Delta =4(-m^2+10m)=4(-m)(m-10)$
Si $m=0$, l'équation admet une racine double : (-1)
Si $m=10$,l'équation admet une racine double : $\frac{3}{2}$.
Si $m\in ]-\infty, 0[\cup ]10, +\infty[$ alors $\Delta<0$, l'équation n'a pas de racine.
Si $m\in ]0,2[\cap]2,10[$ alors $\Delta>0$, l'équation a 2 racines distinctes.

2°/a) Soit $S$ la somme des racines et $P$ leur produit. $S=-\frac{b}{a}=\frac{2(m+2)}{m-2}$ et $P=\frac{c}{a}=\frac{2m-2}{m-2}$
L'expression est symétrique des des racines donc s'exprime en fonction de $S$ et $P$.
$x'^2+x"^2=(x'+x")^2-2x'x"=\frac{4(m+2)^2}{(m-2)^2}-\frac{4(m-1)}{m-2}=\frac{4(7m+2)}{(m-2)^2}$
L'équation $\frac{4(7m+2)}{(m-2)^2}=35$ admet 2 solutions qui appartiennent toutes deux à l'intervalle ]0 , 10[ : $\frac{84\pm 2\sqrt{609}}{35}$

b) $|x'-x"|=5\Longleftrightarrow |x'-x"|^2=25$car les 2 membres sont positifs.
$|x'-x"|^2=x'^2+x"^2-2x'x"=(S^2-2P)-2P=S^2-4P=\frac{4(-m^2+10m)}{(m-2)^2}$
L'équation $\frac{4(-m^2+10m)}{(m-2)^2}=25$ admet 2 racines qui appartiennent à l'intervalle ]0 , 10[ : $\frac{70\pm 20\sqrt 5}{29}$

c) Soit le trinôme $f(x)=(m-2)x^2-2(m+2)x+2m-2$
$x'<2<x"$ si et seulement si $m\in ]0, 10[$ et $f(2)$ du signe contraire de $a$ soit $af(2)<0$
$f(2)=2(m-9)$ et $af(2)=2(m-2)(m-9)$
Donc on doit avoir $m\in ]2 , 9[$

d)
$-1<x'<1<x"$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}\Delta>0\\af(1)<0\\af(-1)>0\\f(-1)<\frac{S}{2}\end{array}\right.$
$af(1)<0\Longleftrightarrow (m-2)(m-8)<0\Longleftrightarrow m\in ]2 , 8[$
$af(-1)>0 \Longleftrightarrow (m-2)(5m)>0 \Longleftrightarrow m\in ]-\infty, 0[\cup ]2,+\infty[$
$f(-1)<\frac{m+2}{m-2}\Longleftrightarrow 5m<\frac{m+2}{m-2}$
Les conditions précédentes impliquent déjà que $m\in ]2,8[$ donc le dénominateur $m-2>0$. Par conséquent $5m<\frac{m+2}{m-2}\Longleftrightarrow 5m(m-2)<m+2$ soit $5m^2-11m-2<0$ : $m\in ]\frac{11-\sqrt{161}}{10}, \frac{11+\sqrt{161}}{10}[$
Bilan : $m\in ]2 , \frac{11+\sqrt{161}}{10}[$

Pour la dernière condition, j'ai utilisé un raccourci sinon on se ramène à $\frac{m+2}{m-2}-5m>0$ soit $\frac{-5m^2+11m+2}{m-2}>0$ et on fait un tableau de signes pour étudier le signe du quotient.

La suite dans un second message.

[Job]

3°/ $m\neq 2$ donc $P=\frac{2m-2}{m-2}\Longleftrightarrow P(m-2)=2m-2$ soit $m(P-2)=2P-2$
$P\neq 2 $ car $P=2\Longrightarrow 0m=2$, par conséquent $m=\frac{2P-2}{P-2}$
On a alors $S=\frac{2(\frac{2P-2}{P-2}+2)}{\frac{2p-2}{P-2}-2}=\frac{8P-12}{2}=4P-6$

Donc $x'+x"=4x'x"-6$

4°/a) (E) admet 2 solutions de signes contraires si et seulement si $P<0$ soit $m\in ]1 , 2[$

b) (E) admet 2 solutions positives si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}\Delta>0\\P>0\\S>0\end{array}\right.$
Le système admet comme solution : $m\in ]2,10[$

d) (E) admet 2 solutions négatives si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}\Delta>0\\P>0\\S<0\end{array}\right.$
Le système admet comme solution : $m\in ]0 ,1[$

e) (E) admet 2 solutions opposées si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl} m\in ]0,2[\cup]2,10[\\S=0\end{array}\right.$
$S=0\Longleftrightarrow m=-2$.
Les conditions sont incompatibles, il n'y a pas de solution.

e) Les solutions sont inverses si et seulement si $P=x'x"=1$ soit $2m-2=m-2$ donc $m=0$ mais on a alors une racine double égale à (-1)