Bonsoir,
comment on fait l'encadrement d'alpha après avoir appliqué le théorème de la valeur intermédiaire ?
limites et continuité
Re: limites et continuité
Bonjour
La méthode par dichotomie :
Je suppose $f$ continue et strictement croissante sur $[a , b]$ $k$ un réel appartenant à $f(a),f(b)$ et on sait que l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à $[a,b]$
Soit $m=\frac{a+b}{2}$ (moyenne de $a$ et $b$), on calcule $f(m)$
Si $f(m)<k=f(\alpha)$, puisque $f$ est croissante alors $m<\alpha$ et donc $\alpha \in ]m,b]$
Si $f(m)\geq k=f(\alpha)$ alors $m\geq \alpha$ et donc $\alpha \in [a, m]$
On a ainsi obtenu $\alpha$ dans un intervalle diminué de moitié.
On recommence le même procédé en remplaçant suivant le cas, l'intervalle $[a, b]$ par l'intervalle $[m , b]$ ou par l'intervalle $[a,m]$
Si $f$ est strictement continue décroissante, on a le même type de raisonnement.
Ceci peut se programmer sur la calculatrice
On peut aussi procéder par balayage : si l'intervalle $[a,b]$ est d'amplitude 1 et qu'on veut un encadrement d'amplitude $10^{-1}$, on calcule successivement $f(a+10^{-1}),\ f(a+2\cdot 10^{-1}),\ f(a+3\cdot 10^{-1}),\cdots$ jusqu'à ce que 2 valeurs consécurives encadrent le nombre $k$. Par exemple si $f(a+2\cdot 10^{-1})<k<f(a+2\cdot 10^{-1})$ alors $a+2\cdot 10^{-1}<\alpha <a+3\cdot 10^{-1}$
La méthode par dichotomie :
Je suppose $f$ continue et strictement croissante sur $[a , b]$ $k$ un réel appartenant à $f(a),f(b)$ et on sait que l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à $[a,b]$
Soit $m=\frac{a+b}{2}$ (moyenne de $a$ et $b$), on calcule $f(m)$
Si $f(m)<k=f(\alpha)$, puisque $f$ est croissante alors $m<\alpha$ et donc $\alpha \in ]m,b]$
Si $f(m)\geq k=f(\alpha)$ alors $m\geq \alpha$ et donc $\alpha \in [a, m]$
On a ainsi obtenu $\alpha$ dans un intervalle diminué de moitié.
On recommence le même procédé en remplaçant suivant le cas, l'intervalle $[a, b]$ par l'intervalle $[m , b]$ ou par l'intervalle $[a,m]$
Si $f$ est strictement continue décroissante, on a le même type de raisonnement.
Ceci peut se programmer sur la calculatrice
On peut aussi procéder par balayage : si l'intervalle $[a,b]$ est d'amplitude 1 et qu'on veut un encadrement d'amplitude $10^{-1}$, on calcule successivement $f(a+10^{-1}),\ f(a+2\cdot 10^{-1}),\ f(a+3\cdot 10^{-1}),\cdots$ jusqu'à ce que 2 valeurs consécurives encadrent le nombre $k$. Par exemple si $f(a+2\cdot 10^{-1})<k<f(a+2\cdot 10^{-1})$ alors $a+2\cdot 10^{-1}<\alpha <a+3\cdot 10^{-1}$