Bonsoir. J'ai un leger soucis. Lorsque nous avons une équation paramétrique et qu'on trouve comme discriminant un polynôme de degré 2. Nous sommes alors obligés de chercher le discriminant de ce polynôme là. Après cela je ne sais pas comment faire pour trouver les solutions. Aussi bien que ce dernier discriminant est positif, négatif ou nul.
Veuillez m'aider s'il vous plait. Merci d'avance
équation paramétrique
Re: équation paramétrique
Bonjour
Le mieux est d'expliquer sur un exemple : Résoudre et discuter suivant les valeurs de $m$ l'équation :
$mx^2-2(m-2)x+2m-1=0$ (E)
1) D'abord un cas particulier : si $m=0$, l'équation est du premier degré et s'écrit : $4x-1=0$. Elle a donc une solution : $S=\{\frac{1}{4}\}$.
2) Si $m\neq 0$ l'équation est du second degré donc on calcule le discriminant :
$\Delta= 4(m-2)^2-4m(2m-1)=4[(m-2)^2-m(2m-1)]=4[m^2-4m+4-2m^2+m]=4(-m^2-3m+4)$
Le discriminant est un trinôme du second degré en $m$ donc il peut être positif ou négatif, il faut donc étudier son signe pour savoir si l'équation (E) admet ou non des racines. Pour cela on cherche les racines, si il y en a, de $-m^2-3m+4$ en calculant son discriminant.
$\delta=9+16=25$ donc $\Delta$ a 2 racines : $m_1=\frac{3-5}{-2}=1$ et $m_2=\frac{3+5}{-2}=-4$
a) À l'extérieur des racines donc si $m\in ]-\infty, -4[\cup ]1,+\infty[$ $\Delta$ est du signe du coefficient de $m^2$ donc négatif. Par conséquent l'équation (E) n'a pas de solution. $S=\emptyset$
b) Si $m=-4,\ \Delta =0$ donc l'équation (E) a une racine double : $\frac{2(m-2)}{2m}=\frac{-12}{-8}=\frac{3}{2}$. $S=\{\frac{3}{2}\}$
c) Si $m=1,\ \Delta=0$ donc l'équation (E) a une racine double : $\frac{2(m-2)}{2m}=\frac{-2}{2}=-1$ $S=\{-1\}$
d) Entre les racines (-4) et 1, donc si $m\in ]-4,1[$, $\Delta$ est du signe contraire du coefficient de $m^2$ donc positif. Par conséquent l'équation (E) admet 2 racines : $x_1=\frac{2(m-2)-\sqrt{4(-m2-3m+4}}{2m}=\frac{m-2-\sqrt{-m^2-3m+4}}{m}$ et $x_2=\frac{2(m-2)+\sqrt{4(-m2-3m+4}}{2m}=\frac{m-2+\sqrt{-m^2-3m+4}}{m}$
$S=\{\frac{m-2-\sqrt{-m^2-3m+4}}{m}, \frac{m-2+\sqrt{-m^2-3m+4}}{m}\}$
Le mieux est d'expliquer sur un exemple : Résoudre et discuter suivant les valeurs de $m$ l'équation :
$mx^2-2(m-2)x+2m-1=0$ (E)
1) D'abord un cas particulier : si $m=0$, l'équation est du premier degré et s'écrit : $4x-1=0$. Elle a donc une solution : $S=\{\frac{1}{4}\}$.
2) Si $m\neq 0$ l'équation est du second degré donc on calcule le discriminant :
$\Delta= 4(m-2)^2-4m(2m-1)=4[(m-2)^2-m(2m-1)]=4[m^2-4m+4-2m^2+m]=4(-m^2-3m+4)$
Le discriminant est un trinôme du second degré en $m$ donc il peut être positif ou négatif, il faut donc étudier son signe pour savoir si l'équation (E) admet ou non des racines. Pour cela on cherche les racines, si il y en a, de $-m^2-3m+4$ en calculant son discriminant.
$\delta=9+16=25$ donc $\Delta$ a 2 racines : $m_1=\frac{3-5}{-2}=1$ et $m_2=\frac{3+5}{-2}=-4$
a) À l'extérieur des racines donc si $m\in ]-\infty, -4[\cup ]1,+\infty[$ $\Delta$ est du signe du coefficient de $m^2$ donc négatif. Par conséquent l'équation (E) n'a pas de solution. $S=\emptyset$
b) Si $m=-4,\ \Delta =0$ donc l'équation (E) a une racine double : $\frac{2(m-2)}{2m}=\frac{-12}{-8}=\frac{3}{2}$. $S=\{\frac{3}{2}\}$
c) Si $m=1,\ \Delta=0$ donc l'équation (E) a une racine double : $\frac{2(m-2)}{2m}=\frac{-2}{2}=-1$ $S=\{-1\}$
d) Entre les racines (-4) et 1, donc si $m\in ]-4,1[$, $\Delta$ est du signe contraire du coefficient de $m^2$ donc positif. Par conséquent l'équation (E) admet 2 racines : $x_1=\frac{2(m-2)-\sqrt{4(-m2-3m+4}}{2m}=\frac{m-2-\sqrt{-m^2-3m+4}}{m}$ et $x_2=\frac{2(m-2)+\sqrt{4(-m2-3m+4}}{2m}=\frac{m-2+\sqrt{-m^2-3m+4}}{m}$
$S=\{\frac{m-2-\sqrt{-m^2-3m+4}}{m}, \frac{m-2+\sqrt{-m^2-3m+4}}{m}\}$