Bonjour, je cherche la résolution de ces équations et inéquations
1) $\sqrt{4x^{3}-3x^{2}-32x+28}$ $=$ $x^{2}$ $+$ $2x$ $-$ $8$
2) $\sqrt{-4x^{2}+x+5}$ $=$ $|2x+2|$
3) $x^{2}$ $-$ $|2x+3|$ $>0$
équation, inéquation
Re: équation, inéquation
Bonjour
1) L'équation est définie si et seulement si $4x^3-3x^2-32x+28\geq 0$
(Si on trouve des solutions, il faudra vérifier que cette condition est bien remplie)
En supposant être dans l'ensemble de définition , $\sqrt{4x^3-3x^2-32x+28} =x^2+2x-8 \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} 4x^3-3x^2-32x+28 &=&(x^2+2x-8)^2\\ x^2+2x-8 &\geq& 0\end{array} \right.$
Après développement du carré l'équation se réduit à $x^4-9x^2+36=0$
En posant $x=x^2$ on obtient : $X^2-9X+36=0$
Équation du second degré dont le discriminant est négatif donc il n'y a pas de solution.
2) L'équation est définie si et seulement si $-4x^2+x+5\geq 0$
Le trinôme a pour racines -1 et $\frac{5}{4}$ donc d'après la règle sur le signe du trinôme, il est positif donc du signe contraire de $a$ entre les racines. On a donc $D=[-1,\frac{5}{4}]$.
Sur l'ensemble de définition, les 2 membres de l'équation sont positifs et 2 nombres positifs sont égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux, l'équation équivaut donc à : $-4x^2+x+5=4x^2+8x+4$
Soit $8x^2+7x-1=0$
$\Delta = 81$ et les racines sont (-1) et $\frac{1}{8}$ qui appartient à l'ensemble de définition donc $S=\{-1 , \frac{1}{8}\}$
3) L'inéquation est toujours définie. Elle équivaut à $x^2>|2x+3|$
Les 2 membres sont positifs et 2 nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés donc l'inéquation équivaut à : $x^4>(2x+3)^2$ soit encore $x^4-(2x+3)^2>0$
On factorise : $(x^2+2x+3)(x^2-2x-3)>0$
Le trinôme $x^2+2x+3$ a un discriminant négatif donc il est toujours strictement positif.
Le trinôme $x^2-2x-3$ a pour racines (-1) et 3 et il est positif à l'extérieur des racines.
Le produit des 2 trinômes est positif quand les 2 facteurs sont de même signe donc $S=]-\infty , -1[\cup ]3, +\infty[$
1) L'équation est définie si et seulement si $4x^3-3x^2-32x+28\geq 0$
(Si on trouve des solutions, il faudra vérifier que cette condition est bien remplie)
En supposant être dans l'ensemble de définition , $\sqrt{4x^3-3x^2-32x+28} =x^2+2x-8 \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} 4x^3-3x^2-32x+28 &=&(x^2+2x-8)^2\\ x^2+2x-8 &\geq& 0\end{array} \right.$
Après développement du carré l'équation se réduit à $x^4-9x^2+36=0$
En posant $x=x^2$ on obtient : $X^2-9X+36=0$
Équation du second degré dont le discriminant est négatif donc il n'y a pas de solution.
2) L'équation est définie si et seulement si $-4x^2+x+5\geq 0$
Le trinôme a pour racines -1 et $\frac{5}{4}$ donc d'après la règle sur le signe du trinôme, il est positif donc du signe contraire de $a$ entre les racines. On a donc $D=[-1,\frac{5}{4}]$.
Sur l'ensemble de définition, les 2 membres de l'équation sont positifs et 2 nombres positifs sont égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux, l'équation équivaut donc à : $-4x^2+x+5=4x^2+8x+4$
Soit $8x^2+7x-1=0$
$\Delta = 81$ et les racines sont (-1) et $\frac{1}{8}$ qui appartient à l'ensemble de définition donc $S=\{-1 , \frac{1}{8}\}$
3) L'inéquation est toujours définie. Elle équivaut à $x^2>|2x+3|$
Les 2 membres sont positifs et 2 nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés donc l'inéquation équivaut à : $x^4>(2x+3)^2$ soit encore $x^4-(2x+3)^2>0$
On factorise : $(x^2+2x+3)(x^2-2x-3)>0$
Le trinôme $x^2+2x+3$ a un discriminant négatif donc il est toujours strictement positif.
Le trinôme $x^2-2x-3$ a pour racines (-1) et 3 et il est positif à l'extérieur des racines.
Le produit des 2 trinômes est positif quand les 2 facteurs sont de même signe donc $S=]-\infty , -1[\cup ]3, +\infty[$