Bonsoir ;
Voici le 2ème exercice sur les équations du 2n degré que je n'arrive pas à traiter:
La hauteur d'un cont de révolution mesure 30 cm et le rayon de la base est 6cm. on veut inscrire dans ce cont, un cylindre de révolution dont le volume soit le plus grand possible
Quelles doivent être les dimensions d'un tel cylindre: sa hauteur et le rayon de sa base
autre exercice second degré
Re: autre exercice second degré
On considère une coupe du cône par un plan passant par le sommet et perpendiculaire à la base. On obtient un triangle isocèle $ABC$ de sommet $A$,de base $[BC]$ tel que $BC=12$, de hauteur $[AH]$ avec $AH=30$
La coupe du cylindre est un rectangle $MNPQ$ tel que $[MQ]$ soit parallèle à $[BC]$.
$(AH)$ coupe $[MQ]$ en $K$. La hauteur du cylindre est donc $KH$. On pose $KH=x$. $0\leq x \leq 30$
(Faire la figure au fur et à mesure)
Les triangles $AMQ$ et $ABC$ sont semblables donc $\frac{MQ}{BC}=\frac{AK}{AH}$ soit $\frac{MQ}{12}=\frac{30-x}{30}$ donc $MQ=12\times \frac{30-x}{30}$. Le rayon de la base du cylindre est donc : $6\times \frac{30-x}{30}=\frac{30-x}{5}=6-\frac{x}{5}$
Le volume du cylindre est donc : $\pi r^2h=\pi \times (6-\frac{x}{5})^2\times x=\pi(36x-\frac{12}{5} x^2+\frac{1}{25}x^3)= \frac{\pi}{25}(x^3-60x^2+900x)$
Il faut donc chercher à maximiser dans l'intervalle [0 , 30], la fonction, qui à $x$ associe $x^3-60x^2+900x$
C'est un peu surprenant qu'on vous pose ce problème en ce début d'année de 1ère car, pour continuer, il faut étudier les variations d'une fonction de degré 3 donc il faudrait avoir la notion de dérivée. Faut-il continuer ?
La coupe du cylindre est un rectangle $MNPQ$ tel que $[MQ]$ soit parallèle à $[BC]$.
$(AH)$ coupe $[MQ]$ en $K$. La hauteur du cylindre est donc $KH$. On pose $KH=x$. $0\leq x \leq 30$
(Faire la figure au fur et à mesure)
Les triangles $AMQ$ et $ABC$ sont semblables donc $\frac{MQ}{BC}=\frac{AK}{AH}$ soit $\frac{MQ}{12}=\frac{30-x}{30}$ donc $MQ=12\times \frac{30-x}{30}$. Le rayon de la base du cylindre est donc : $6\times \frac{30-x}{30}=\frac{30-x}{5}=6-\frac{x}{5}$
Le volume du cylindre est donc : $\pi r^2h=\pi \times (6-\frac{x}{5})^2\times x=\pi(36x-\frac{12}{5} x^2+\frac{1}{25}x^3)= \frac{\pi}{25}(x^3-60x^2+900x)$
Il faut donc chercher à maximiser dans l'intervalle [0 , 30], la fonction, qui à $x$ associe $x^3-60x^2+900x$
C'est un peu surprenant qu'on vous pose ce problème en ce début d'année de 1ère car, pour continuer, il faut étudier les variations d'une fonction de degré 3 donc il faudrait avoir la notion de dérivée. Faut-il continuer ?
Re: autre exercice second degré
Bonjour;
Effectivement la dérivée il nous en a parlé , mais il faut poursuivre l'exercice avec ce que nous avons vu c'est à dire les notions de 2nde (avec a < b .... )
merci à vous par avance de votre aide
Effectivement la dérivée il nous en a parlé , mais il faut poursuivre l'exercice avec ce que nous avons vu c'est à dire les notions de 2nde (avec a < b .... )
merci à vous par avance de votre aide
Re: autre exercice second degré
On a des calculs un peu plus simple en prenant comme variable le rayon du cylindre soit r avec $0\leq r\leq 6$
Avec la similitude des triangles $AMQ$ et $ABC$ on obtient que $\frac{AK}{30}=\frac{r}{6}$ donc $AK=5r$ et par conséquent $HK=30-5r$
Le volume du cylindre est donc $\pi r^2(30-5r)=5\pi (6r^2-r^3)$
Si on pose $f(r)=6r^2-r^3$ mais il faut également en passer par le fonction dérivée : $f'(r)=12r -3r^2=3r(4-r)$
Sur l'intervalle [0, 6], $f'(r)$ est du signe de $4-r$, s'annule pour $r=4$, est positive pour $r<4$, négative pour $r>4$ donc $f$ est croissante sur l'intervalle [0,4] et décroissante sur l'intervalle [4,6].
$f$ est donc maximale pour $r=4$
Le cylindre de volume maximal a pour rayon 4 et pour hauteur $30-5r=10$
Avec la similitude des triangles $AMQ$ et $ABC$ on obtient que $\frac{AK}{30}=\frac{r}{6}$ donc $AK=5r$ et par conséquent $HK=30-5r$
Le volume du cylindre est donc $\pi r^2(30-5r)=5\pi (6r^2-r^3)$
Si on pose $f(r)=6r^2-r^3$ mais il faut également en passer par le fonction dérivée : $f'(r)=12r -3r^2=3r(4-r)$
Sur l'intervalle [0, 6], $f'(r)$ est du signe de $4-r$, s'annule pour $r=4$, est positive pour $r<4$, négative pour $r>4$ donc $f$ est croissante sur l'intervalle [0,4] et décroissante sur l'intervalle [4,6].
$f$ est donc maximale pour $r=4$
Le cylindre de volume maximal a pour rayon 4 et pour hauteur $30-5r=10$