Bonsoir ;
Je suis bloqué sur deux exercices sur les polynômes dont un en algèbre et l'autre en géométrie ...
Soit l'équation (E) tel que 2x^4 - 9x^3 + 8x^2 - 9x + 2 = 0
Montrer que 0 n'est pas solution de (E)
Justifier alors pourquoi (E) a les memes solutions que l'équation suivante (E'):
2x^2 - 9x +8 - (9/x) + (2/x^2) = 0
On pose X = x + (1/x) Montrer que x^2 + (1) / (x^2) = X^2 - 2
Montrer que x est solution de (E') sis X est solution d'une équation (E'') du second degré qu'on cherche à déterminer
résoudre (E'')
En déduire les solutions de (E)
polynôme du second degré
Re: polynôme du second degré
Bonjour
Si on remplace $x$ par 0, l'équation n'est pas vérifiée donc 0 n'est pas solution.
On peut, par conséquent, diviser tous les termes par $x^2$ ce qui donne :
$2x^2-9x+8-\frac{9}{x} +\frac{2}{x^2}=0$
$X^2=x^2+2\times x \times \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$ donc $x^2+\frac{1}{x^2}=X^2-2$
L'équation (E') peut s'écrire $2(x^2+\frac{1}{x^2})-9(x+\frac{1}{x})+8=0$ soit $2(X^2-2)-9X+8=0$ soit $2X^2-9X+4=0$ (E")
On résout (E") : $\Delta= 49$ , $X_1=\frac{1}{2}$ et $X_2=4$
On a donc $x+\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$ soit en multipliant par $x$ : $x^2-\frac{1}{2}x +1=0$
ou $x+\frac{1}{x} =4$ soit $x^2-4x+1=0$
Pour la première : $\Delta=\frac{1}{4}-4<0$ donc pas de solution.
Pour la seconde : $\Delta = 12$ , $x_1=\frac{4-\sqrt {12}}{2}=\frac{4-2\sqrt 3}{2}=2-\sqrt 3$ , $x_2=2+\sqrt 3$
L'équation (E) a donc 2 solutions : $2-\sqrt 3$ et $2+\sqrt 3$.
Si on remplace $x$ par 0, l'équation n'est pas vérifiée donc 0 n'est pas solution.
On peut, par conséquent, diviser tous les termes par $x^2$ ce qui donne :
$2x^2-9x+8-\frac{9}{x} +\frac{2}{x^2}=0$
$X^2=x^2+2\times x \times \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$ donc $x^2+\frac{1}{x^2}=X^2-2$
L'équation (E') peut s'écrire $2(x^2+\frac{1}{x^2})-9(x+\frac{1}{x})+8=0$ soit $2(X^2-2)-9X+8=0$ soit $2X^2-9X+4=0$ (E")
On résout (E") : $\Delta= 49$ , $X_1=\frac{1}{2}$ et $X_2=4$
On a donc $x+\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$ soit en multipliant par $x$ : $x^2-\frac{1}{2}x +1=0$
ou $x+\frac{1}{x} =4$ soit $x^2-4x+1=0$
Pour la première : $\Delta=\frac{1}{4}-4<0$ donc pas de solution.
Pour la seconde : $\Delta = 12$ , $x_1=\frac{4-\sqrt {12}}{2}=\frac{4-2\sqrt 3}{2}=2-\sqrt 3$ , $x_2=2+\sqrt 3$
L'équation (E) a donc 2 solutions : $2-\sqrt 3$ et $2+\sqrt 3$.