Bonjour ;
J'ai quelques doute sur certaines questions sur un devoir à rendre la semaine prochaine, pourriez vous m'aider svp merci à vous par avance
étudier le sens de variation de la suite définie ci dessous:
un = 1 + 1/2 + 1/2^2 + ..... + 1/2^n
Une culture bactériologique contient 10 000 bactéries à l'instant t = 0. Chaque seconde , 20% des batteries meurent naturellement et 1500 bactéries nouvelles sont injectées dans la culture . On note un le nombre de bactéries à l'instant n exprimé en secondes .
Que peut on dire de l'évolution des bactéries de la culture ?
Le biologiste conjecture que le nombre de bactéries sera toujours supérieur à 7500. Mais seule son observation lui permet de l'affirmer et il ne sait comment le prouver. Il demande à un collègue mathématicien une démonstration qui ne repose pas sur la seule observation des premiers termes. Aider le biologiste à trouver cette démonstration
suite
Re: suite
Bonjour
Pour la première question, la suite est évidemment croissante puisque $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2^{n+1}}>0$
Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$
$u_n=\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=2[1-(\frac{1}{2})^{n+1}]$
$\lim_{n\to +\infty} (\frac{1}{2})^{n+1}=0$ donc $\lim_{n\to +\infty} u_n=2$
Deuxième exercice.
$u_{n+1}=u_n-0,2u_n+1500=0,8u_n+1500$.il s'agit d'une suite arithmético-géométrique.
On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-7500$
$v_{n+1}=u_{n+1}-7500=0,8u_n+1500-7500=0,8u_n-6000=0,8(v_n+7500)-6000=0,8v_n$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison 0,8 et de premier terme $v_0=u_0-7500=2500$
Donc $v_n=2500\times 0,8^n$ et $u_n=v_n+7500=2500\times 0,8^n +7500$
Donc on a bien toujours $u_n>7500$
Pour la première question, la suite est évidemment croissante puisque $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2^{n+1}}>0$
Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$
$u_n=\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=2[1-(\frac{1}{2})^{n+1}]$
$\lim_{n\to +\infty} (\frac{1}{2})^{n+1}=0$ donc $\lim_{n\to +\infty} u_n=2$
Deuxième exercice.
$u_{n+1}=u_n-0,2u_n+1500=0,8u_n+1500$.il s'agit d'une suite arithmético-géométrique.
On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-7500$
$v_{n+1}=u_{n+1}-7500=0,8u_n+1500-7500=0,8u_n-6000=0,8(v_n+7500)-6000=0,8v_n$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison 0,8 et de premier terme $v_0=u_0-7500=2500$
Donc $v_n=2500\times 0,8^n$ et $u_n=v_n+7500=2500\times 0,8^n +7500$
Donc on a bien toujours $u_n>7500$