nombre complexe

[ameniZ9]

les puissances ; 20 21 22 23 24

[Job]

Bonjour

1° On commence par écrire $z$ sous forme algébrique en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
$z=\frac{(1-\sqrt 2 +i)(1+\sqrt 2 +i)}{(1+\sqrt 2 -i)(1+\sqrt 2 +i)}=\frac{(1+i)^2-2}{(1+\sqrt 2)^2+1}=\frac{2i-2}{4+2\sqrt 2}=\frac{-1+i}{2+\sqrt 2}$
$|z|^2=\frac{(-1)^2+1^2}{(2+\sqrt 2)^2}=\frac{2}{6+4\sqrt 2}=\frac{1}{3+2\sqrt 2}=\frac{3-2\sqrt 2}{(3+2\sqrt 2)(3-2\sqrt 2)}=\frac{3-2\sqrt 2}{1}=(\sqrt 2-1)^2$
Donc $|z|=\sqrt 2-1$

Soit $\theta$ un argument de $z$.
$\cos \theta=\frac{\Re (z)}{|z|}=\frac{-1}{(2+\sqrt 2)(\sqrt 2-1)}=\frac{-1}{2\sqrt 2-2+2-\sqrt 2}=\frac{-1}{\sqrt 2}=-\frac{\sqrt 2}{2}$
$\sin \theta =\frac{\Im (z)}{|z|}=\frac{1}{(2+\sqrt 2)(\sqrt 2-1)}=\frac{\sqrt 2}{2}$
Donc $\theta =\frac{3\pi}{4}\ [2\pi]$

$z=(\sqrt 2 -1)e^{i\frac{3\pi}{4}}$

2° $|z^{20}|=|z|^{20}=(\sqrt 2-1)^{20}$ et $arg(z^{20})=20 arg (z )=15\pi \equiv \pi\ [2\pi|$
$z^{20}=(\sqrt 2-1)^{20}e^{i\pi}=-(\sqrt 2-1)^{20}$

$z^{21}=z^{20}\times z =(\sqrt 2-1)^{21}e^{i(\pi +\frac{3\pi}{4})}=(\sqrt 2-1)^{21} e^{i\frac{7\pi}{4}}=(\sqrt 2-1)^{21}e^{-i\frac{\pi}{4}}$

$z^{22}=z^{21}\times z =(\sqrt 2-1)^{22}e^{i(-\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4})}=(\sqrt 2-1)^{22} e^{i\frac{\pi}{2}}=(\sqrt 2-1)^{22} i$

$z^{23}=z^{22}\times z =(\sqrt 2-1)^{23} e^{i(\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{4})}=(\sqrt 2-1)^{23}e^{i\frac{5\pi}{4}}=(\sqrt 2-1)^{23} e^{-i\frac{3\pi}{4}}$

$z^{24}=z^{23}\times z =(\sqrt 2-1)^{24} e^{i(-\frac{3\pi}{4} +\frac{3\pi}{4})}=(\sqrt 2-1)^{24}$

[ameniZ9]

Merci beaucoup.