dénombrement

[ameniZ9]

binôme de newton

[Job]

1. En utilisant le formule du binôme :
$(1+1)^{100}=\sum_{k=0}^{100} C_{100}^k 1^k\times 1^{100-k}=\sum_{k=0}^{100}C_{100}^k \times 1=A+B$
Donc $A+B=2^{100}$

$(-1+1)^{100}=\sum_{k=0}^{100}C_{100}^k (-1)^k\times 1^{100-k}=\sum_{k=0}^{100} C_{100}^k (-1)^k=A-B$
Donc $A-B=0$ soit $A=B$

On a donc $A=B=\frac{2^{100}}{2}=2^{99}$

2. a) $\frac{n+1}{p}C_n^{p-1}=\frac{n+1}{p}\times \frac{n!}{(p-1)!(n-p+1)!}=\frac{(n+1)!}{p!(n+1-p)!}=C_{n+1}^p$

b) $S=\frac{1}{101}(\frac{101}{1}C_{100}^0+\frac{101}{2}C_{100}^1+\cdots +\frac{101}{101}C_{100}{100})$
Soit, en utilisant le résultat de a) :
$S=\frac{1}{101} (C_{101}^1+C_{101}^2+\cdots +C_{101}^{101})=\frac{1}{101}\sum_{k=1}^{101}C_{101}^k$
$2^{101}=(1+1)^{101}=C_{101}^0+\sum_{k=1}^{101}C_{101}^k$
Donc $\sum_{k=1}^{101} C_{101}^k=2^{101}-1$ et $S=\frac{2^{101}-1}{101}$

[ameniZ9]

infiniment merci !