Bonjour,
Voici un autre exercice de synthèse que je dois rendre par contre pour mardi prochain (je vous ai indiqué ce que j'ai fais)
Problème de raccordement dans le tracé des lignes TGV
Le problème de raccordement es de joindre par une courbe plane un tronçon d’origine et un tronçon extrémité.
En voici un exemple : le tronçon d’origine est une demi-droite [Ax) et le tronçon extrémité est ici l’arc de cercle BC de centre O.
Le raccordement doit être tangent à chacun des deux tronçons préexistants.
Partie 1 : On choisit comme tracé une courbe représentant une fonction polynôme f du 3e degré, dans un repère orthonormal (A,i,j) (échelle 1 cm pour 1 km)
1. Quelles sont les coordonnées de O, B, C dans ce repère ?
2. Expliquer pourquoi f(0)=0 et f'(0)=0 .
3. T est la tangente en B à l’arc de cercle BC . Quel est le coefficient directeur de T ?
Indication
Deux droites d’équations y=mx+p et y'=m'x+p' sont perpendiculaires si et seulement si .
Expliquer alors pourquoi f(4)=3 et f'(4)= 1/2
4. Le polynôme cherché s’écrit ax3+bx2+cx+d
A l’aide des égalités trouvées en 2. et 3. , déterminer les inconnues a, b, c, d puis la fonction f.
Partie 2 : Soit la fonction définie par g(x)= -1/16x3 + 1/17x2 sur [0;4] .
1. Démontrer que la courbe représentative de g vérifie les contraintes du problème.
2. Etudier le sens de variation de g sur [0;4] .
Faire le plan du tracé de la ligne TGV sur le parcours ABC.
synthèse
Re: synthèse
1- O= centre du cercle situee en (3,5)
B= 4,3
C= 5,5
2- Parce que si f(0) est egal a 0 sa derive le sera aussi ???
3- le coef directeur est 1 :S
alors f(4)=3 car on se situe dans le point B, mais je sais aps comment expliquer que la derivee f'(4)= 1/2
B= 4,3
C= 5,5
2- Parce que si f(0) est egal a 0 sa derive le sera aussi ???
3- le coef directeur est 1 :S
alors f(4)=3 car on se situe dans le point B, mais je sais aps comment expliquer que la derivee f'(4)= 1/2
Re: synthèse
Bonjour
1. Ta réponse n'est pas juste car avec les coordonnées que tu donnes, $O$ n'est pas le centre d'un cercle passant par $B$ et $C$ car $OB\neq OC$
Sans la figure, je ne sais pas comment corriger. Si $C$ a comme ordonnée 5, il devrait avoir pour abscisse $3+\sqrt 5$
2. La courbe doit être tangente à l'axe des abscisses en $A$ donc le coefficient directeur de la tangente est égal à 0 soit $f'(0)=0$
3. La droite $(OB)$ a pour coefficient directeur $\frac{y_B-y_O}{x_B-x_O}=\frac{3-5}{4-3}=-2$
Deux droites d'équations $y=mx+p$ et $y=m'x+p$ sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficient directeur est égal à (-1) soit $mm'=-1$
Par conséquent la tangente en $B$ à l'arc $BC$ a pour coefficient directeur $\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$.
On doit donc avoir $f'(4)=\frac{1}{2}$.
4. Les égalités trouvées dans les questions précédentes donnent le système : $\left\{\begin{array}{rcl}f(0)&=&0\\f'(0)&=&0\\f(4)&=&3\\f'(4)&=&\frac{1}{2}\end{array}\right.$
$f'(x)=3ax^2+2bx+c$ donc on a le système : $\left\{\begin{array}{rcl}d&=&0\\c&=&0\\64a+16b+4c+d&=&3\\48a+8b+c&=&\frac{1}{2}\end{array}\right.$
Donc $\left\{\begin{array}{rcl}64a+16b&=&3\\48a+8b&=&\frac{1}{2}\end{array}\right.$
Ce qui donne $a=-\frac{1}{16}$ et $b=\frac{7}{16}$
Donc $f(x)=-\frac{1}{16} x^3+\frac{7}{16} x^2$
Partie 2
Il y a une erreur de texte car on n'a pas $g(4)=3$.
1. Ta réponse n'est pas juste car avec les coordonnées que tu donnes, $O$ n'est pas le centre d'un cercle passant par $B$ et $C$ car $OB\neq OC$
Sans la figure, je ne sais pas comment corriger. Si $C$ a comme ordonnée 5, il devrait avoir pour abscisse $3+\sqrt 5$
2. La courbe doit être tangente à l'axe des abscisses en $A$ donc le coefficient directeur de la tangente est égal à 0 soit $f'(0)=0$
3. La droite $(OB)$ a pour coefficient directeur $\frac{y_B-y_O}{x_B-x_O}=\frac{3-5}{4-3}=-2$
Deux droites d'équations $y=mx+p$ et $y=m'x+p$ sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficient directeur est égal à (-1) soit $mm'=-1$
Par conséquent la tangente en $B$ à l'arc $BC$ a pour coefficient directeur $\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$.
On doit donc avoir $f'(4)=\frac{1}{2}$.
4. Les égalités trouvées dans les questions précédentes donnent le système : $\left\{\begin{array}{rcl}f(0)&=&0\\f'(0)&=&0\\f(4)&=&3\\f'(4)&=&\frac{1}{2}\end{array}\right.$
$f'(x)=3ax^2+2bx+c$ donc on a le système : $\left\{\begin{array}{rcl}d&=&0\\c&=&0\\64a+16b+4c+d&=&3\\48a+8b+c&=&\frac{1}{2}\end{array}\right.$
Donc $\left\{\begin{array}{rcl}64a+16b&=&3\\48a+8b&=&\frac{1}{2}\end{array}\right.$
Ce qui donne $a=-\frac{1}{16}$ et $b=\frac{7}{16}$
Donc $f(x)=-\frac{1}{16} x^3+\frac{7}{16} x^2$
Partie 2
Il y a une erreur de texte car on n'a pas $g(4)=3$.