Bonjour, je voudrais de l'aide pour cet exercice
P est un polynôme non nul, de degré n (n ∈ ℕ*), défini sur ℝ par : $P(x) =$ $a_{n}$$x^{n}$ + $a_{n-1}$$x^{n-1}$+ $a_{1}x$+$a_{0}$
Soit Q le polynôme défini sur ℝ par : $Q(x) = P(x)×P(x+2) + P(x^{2})$
1) Montrer que si $a_{n}≠-1$ alors Q(x) est de degré $2n$.
2) On suppose dans la suite que $P(x)$ vérifie la propriété $R$ : $P(x)×P(x+2) + P(x^{2})=0$, ∀ x ∈ ℝ
On se propose de montrer que si $P(x)$ admet une racine $a$, alors $a = 1$.
On suppose que $P(x)$ admis une racine $a$, c'est-à-dire que $P(a) = 0$.
a) Montrer que $a^{2}, a^{4}$ sont des racines de $P(x)$. En déduire que $a^{2k}$ , où k ∈ ℕ, est une racine de $P(x)$.
b) Déduire de ce qui précède que si $|a|=1$ alors $P(x)$ a une infinité de racines.
c) En déduire que $|a|=1$.
d) Montrer que $(a-2)^{2}$ est une racine de $P(x)$ en utilisant $(R)$
e) Déduire de d) et de c) que $a = 1$.
polynôme
Re: polynôme
Bonjour
1) Le degré de $P(x)\times P(x+2)$ est $2n$ et le coefficient dominant : $a_n^2$
Le degré de $(P(x))^2$ est $2n$ et le coefficient dominant : $a_n$
Donc $Q(x)$ est de degré $2n$ si et seulement si $a_n^2+a_n=a_n(a_n+1)\neq 0$.
Comme $a_n\neq 0$, $Q(x)$ est de degré $2n$ si et seulement si $a_n\neq -1$.
2) a) $P(a)\times P(a+2)+P(a^2)=0$ or $P(a)=0$ donc $P(a^2)=0$ et $a^2$ est donc racine.
$P(a^2)\times P(a^2+2)+P(a^4)=0$ or $P(a^2)=0$ donc $P(a^4)=0$ et $a^4$ est donc racine.
Par récurrence, avec une démonstration analogue on déduit $P(a^{2^k})=0$.
b) Si $|a|\neq 1$ alors les $a^{2^k}$ sont tous différents donc $P$ a une infinité de racines.
c) $P$ de degré $n$ a au maximum $n$ racines donc de la question précédente, on déduit que $|a|=1$
d) $P(a-2)\times P(a)+P[(a-2)^2]=0 $ or $P(a)=0$ donc $P[(a-2)^2]=0$
e) $|a|=1$ donc $a=1$ ou $a=-1$
Si $a=-1$, d'après la question d), $(a-2)^2=9$ est racine ce qui est impossible puisque une racine de $P$ est de module 1.
Conclusion : $a=1$
1) Le degré de $P(x)\times P(x+2)$ est $2n$ et le coefficient dominant : $a_n^2$
Le degré de $(P(x))^2$ est $2n$ et le coefficient dominant : $a_n$
Donc $Q(x)$ est de degré $2n$ si et seulement si $a_n^2+a_n=a_n(a_n+1)\neq 0$.
Comme $a_n\neq 0$, $Q(x)$ est de degré $2n$ si et seulement si $a_n\neq -1$.
2) a) $P(a)\times P(a+2)+P(a^2)=0$ or $P(a)=0$ donc $P(a^2)=0$ et $a^2$ est donc racine.
$P(a^2)\times P(a^2+2)+P(a^4)=0$ or $P(a^2)=0$ donc $P(a^4)=0$ et $a^4$ est donc racine.
Par récurrence, avec une démonstration analogue on déduit $P(a^{2^k})=0$.
b) Si $|a|\neq 1$ alors les $a^{2^k}$ sont tous différents donc $P$ a une infinité de racines.
c) $P$ de degré $n$ a au maximum $n$ racines donc de la question précédente, on déduit que $|a|=1$
d) $P(a-2)\times P(a)+P[(a-2)^2]=0 $ or $P(a)=0$ donc $P[(a-2)^2]=0$
e) $|a|=1$ donc $a=1$ ou $a=-1$
Si $a=-1$, d'après la question d), $(a-2)^2=9$ est racine ce qui est impossible puisque une racine de $P$ est de module 1.
Conclusion : $a=1$