J'ai besoin d'aide pour cet exercice de 1ereS sur la loi binomiale.
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Dans une usine on fabrique des pièces pour des voitures avec des machines automatisées.
Le pourcentage de pièces défectueuses dans la production est égal à 5% lorsque les machines sont bien réglées. Par contre, si elles se dérèglent, le taux de défectueux augmente et il est nécessaire d'arrêter la production pour régler les machines.
On prévoit donc des contrôles réguliers de la production en prenant au hasard un échantillon de 100 pièces fabriquées et en calculant le nombre y de pièces défectueuses dans l'échantillon.
On cherche le seuil x , à partir duquel on estime devoir arrêter la production pour régler les machines.
Pour cela, on note X la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon de 100 pièces qu'on prélève dans la production.
1)Quelle est la loi de X lorsque les machines sont bien réglées ?
2)Si on prenait 5 pour le seuil x (correspondant à une production de 5% de défectueux dans l'échantillon) quelle serait la fréquence des arrêts de la production quand les machines sont bien réglées ?
Est-ce que ce serait une bonne politique industrielle ?
3)On cherche dans cette question un seuil x raisonnable
3.a) Quand les machines sont bien réglées, calculer les probabilités suivantes :
P(X≤7), P(X≤8), P(X≤9) et P(X≤10).
3.b)On estime que le seuil x est raisonnable si c’est le plus petit entier n vérifiant la condition :
« si les machines sont bien réglées, au moins 95% des échantillons donnent un nombre de pièces inférieur ou égal à n ».
Traduire cette condition sous forme de probabilité.
Déterminer avec les calculs de la question 3.a) le seuil x et préciser comment on peut concrètement utiliser ce seuil pour vérifier que les machines sont bien réglées.
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Comme c’est un exercice de 1ereS il faut répondre uniquement avec les connaissances du cours sur la loi binomiale (même si ça un petit goût de contrôle qualité qui n’est même pas au programme de terminale S).
REPONSES :
1)La constitution d’un lot de 100 pièces dans la fabrication qui est très grande peut être considéré comme un tirage au sort et avec remise de 100 pièces.
Chaque pièce de ce lot est soit défectueuse (« succès ») de probabilité p=0,05 quand machines sont bien réglées soit non défectueuse (« échec ») de probabilité 0,95.
X qui compte le nombre de pièces défectueuses dans un tel lot suit donc la loi de Bernoulli B(100 ; 0,05).
2)Ca commence à se compliquer dès ici.
D’abord évidemment la fréquence d’arrêt des machines est inférieure ou égale à la fréquence de constitution des lots
.Ceci dit on sait que E(X)=np soit ici E(X)=100x0,05=5.
Donc en moyenne dans chaque lot on peut s’attendre à trouver 5 pièces défectueuses ....
Et alors une fois qu’on a dit ça qu’est qu’on peut répondre aux questions ?????
3.a)Avec TI 83+ on trouve :
P(X≤7) = 0,8720 P(X≤8) ) = 0,9369 P(X≤9) ) = 0,9718 P(X≤10) ) = 0,9885 (sur cette ligne comprendre que = veut dire environ égal)
C’est l’histoire du premier entier b tel P(X ≤ b) ≥ 0,975), ici on trouve b = 10.
3.b) Je ne comprends pas la question.
J'’ai l’impression que ça tourne autour des seuils d’alerte que j’ai vus il y a des décennies de ça ….
Mais avec les connaissances de 1ereS ?????
Merci d’éclairer ma lanterne.
Bonne journée.
