rotation
Re: rotation
1. a) Si $(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA'}})=\pi\ [2\pi]$ alors $O$ doit être un point du segment $[AA']$ et puisqu'on doit avoir $OA=OA'$, O est le milieu de $[AA']$.
b) On considère le triangle $OAA'$.
$(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA'}})+(\widehat{\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AO}})+(\widehat{\overrightarrow{A'O},\overrightarrow{A'A}})=\pi\ [2\pi]$
Puisque $OA=OA'$, le triangle est isocèle donc $\theta +2(\widehat{\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AO}})=\pi\ [2\pi]$
$(\widehat{\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AO}})=\frac{\pi}{2} -\frac{\theta}{2}\ [\pi]$
Cette égalité détermine une droite $D$ dont un vecteur directeur $\overrightarrow V$ est déterminé par $(\widehat{\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{V}})=\frac{\pi}{2} -\frac{\theta}{2}$ (on obtient toute une droite car l'égalité précédente est déterminée modulo $\pi$)
D'autre part $OA=OA'$ implique que $O$ appartient à la médiatrice $\Delta$ de $[AA']$.
$D$ et $\Delta$ se coupent en $O$ qui répond à la question.
2. Le centre d'une rotation d'angle $\theta$ qui transforme $A$ en $A'$ doit vérifier $(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA'}})$ et $OA=OA'$ et d'après la question 1, il existe un point $O$ et un seul qui répond à la question.
3. On fait ce qui est indiqué en 1. b), on construit la demi-droite $[Ax)$ de vecteur directeur $\overrightarrow U$ telle que $(\widehat{\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{U}})=-\frac{\theta}{2}\ [2\pi]$ puis la droite $D$ perpendiculaire à $[Ax]$ en A qui coupe la médiatrice de $[AA']$ en $O$.
b) On considère le triangle $OAA'$.
$(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA'}})+(\widehat{\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AO}})+(\widehat{\overrightarrow{A'O},\overrightarrow{A'A}})=\pi\ [2\pi]$
Puisque $OA=OA'$, le triangle est isocèle donc $\theta +2(\widehat{\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AO}})=\pi\ [2\pi]$
$(\widehat{\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AO}})=\frac{\pi}{2} -\frac{\theta}{2}\ [\pi]$
Cette égalité détermine une droite $D$ dont un vecteur directeur $\overrightarrow V$ est déterminé par $(\widehat{\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{V}})=\frac{\pi}{2} -\frac{\theta}{2}$ (on obtient toute une droite car l'égalité précédente est déterminée modulo $\pi$)
D'autre part $OA=OA'$ implique que $O$ appartient à la médiatrice $\Delta$ de $[AA']$.
$D$ et $\Delta$ se coupent en $O$ qui répond à la question.
2. Le centre d'une rotation d'angle $\theta$ qui transforme $A$ en $A'$ doit vérifier $(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA'}})$ et $OA=OA'$ et d'après la question 1, il existe un point $O$ et un seul qui répond à la question.
3. On fait ce qui est indiqué en 1. b), on construit la demi-droite $[Ax)$ de vecteur directeur $\overrightarrow U$ telle que $(\widehat{\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{U}})=-\frac{\theta}{2}\ [2\pi]$ puis la droite $D$ perpendiculaire à $[Ax]$ en A qui coupe la médiatrice de $[AA']$ en $O$.