Bonjour Job,
Voici l'énoncé que je copie/colle tel que je l'ai reçu :
f(x) = x² / (x² - x - 2)
"on dit qu'une droite D de coefficient directeur m passe par le point F d'abscisse -1 de la courbe. on suppose qu'elle coupe la courbe C en deux points B etC calculer les coordonnées du milieu M de [BC]Calculer les coordonnées de M. En deduire l'ensemble des points M lorsque m varie .Calculer la longueur [BC] en fonction de m."
Je n'y suis pas parvenu.... Je n'ai pas réussi à traduire l'énoncé.
Ce qui me dérange :
droite D de coefficient directeur m passe par le point F d'abscisse -1 de la courbe
Sauf que -1 est une valeur interdite.. Peut-être que j'ai mal compris.
Merci à vous de m'éclairer Job.
Fonction
Re: Fonction
Bonjour youcef-ait
Il y a manifestement une erreur de texte. Je pense que la définition de la fonction est bonne mais que c'est la définition du point $F$ qui est mauvaise, soit l'abscisse est fausse, soit $F$ n'appartient pas à la courbe.
Il y a manifestement une erreur de texte. Je pense que la définition de la fonction est bonne mais que c'est la définition du point $F$ qui est mauvaise, soit l'abscisse est fausse, soit $F$ n'appartient pas à la courbe.
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youcef-ait
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Re: Fonction
J'ai essayé de me renseigner, il me confirme que c'est peut-être une erreur du livre, donc il veut essayer avec le point d'abscisse 1 de la courbe.
Édit :
Donc si je comprends bien, la droite passe donc par le point (1; f(1) ) donc : (1 ; -1/2)
On peut écrire l'équation de la droite comme étant :
y = m(x-1) - 1/2
Après je ne sais pas exactement ce qu'il faut faire, faut-il résoudre l'équation f(x) = y en fonction des cas pour trouver les coordonnées des points B et C en fonction de m ?
Édit :
Donc si je comprends bien, la droite passe donc par le point (1; f(1) ) donc : (1 ; -1/2)
On peut écrire l'équation de la droite comme étant :
y = m(x-1) - 1/2
Après je ne sais pas exactement ce qu'il faut faire, faut-il résoudre l'équation f(x) = y en fonction des cas pour trouver les coordonnées des points B et C en fonction de m ?
Re: Fonction
Effectivement les abscisses des points $B$ et $C$ sont solutions de l'équation $f(x)=m(x-1)-\frac{1}{2}$ soit :
$\frac{x^2}{x^2-x-2}=m(x-1)-\frac{1}{2}$ donc $x^2=(mx-m-\frac{1}{2})(x^2-x-2)$
En développant : $mx^3+(-2m-\frac{3}{2})x^2 +(-m+\frac{1}{2})x +2m+1=0$
On connaît déjà une solution de cette équation, c'est $x=1$ car le point $F$ est sur la courbe et sur la droite donc on peut factoriser le polynôme $mx^3+(-2m-\frac{3}{2})x^2 +(-m+\frac{1}{2})x +2m+1=0$ par $x-1$.
En utilisant, la méthode des coefficients indéterminés on obtient $(x-1)[mx^2+(-m-\frac{3}{2})x-2m-1]=0$
Les abscisses des points $B$ et $C$ sont donc solutions de l'équation : $mx^2+(-m-\frac{3}{2})x-2m-1=0$
L'abscisse du point $M$ est la demi-somme des abscisses des point $B$ et $C$ ce qui donne $x_M=\frac{m+\frac{3}{2}}{2m}=\frac{2m+3}{4m}$
$M$ appartenant à la droite $y_M=m(\frac{2m+3}{4m}-1)-\frac{1}{2})=\frac{2m+3}{4}-m-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} m +\frac{1}{4}$
Pour obtenir l'ensemble des points $M$, il faut éliminer le paramètre $m$ entre $x_m$ et $y_m$
$4y_M=-2m+1$ donc $m=2y_M+\frac{1}{2}$
$x_M=\frac{1}{2} +\frac{3}{4m}=\frac{1}{2} +\frac{3}{8y_M+2}=\frac{4y_M+4}{8y_M+2}=\frac{2y_M+2}{4y_M+1}$
En inversant et sauf erreur de calcul je trouve $y_M=\frac{2-x_M}{4x_M-2}$ qui est l'équation d'une hyperbole.
Tout ceci me semble bien compliqué pour un élève de 1ère. Les calculs seraient un peu simplifiés en prenant le point F de coordonnées (0,0)
$\frac{x^2}{x^2-x-2}=m(x-1)-\frac{1}{2}$ donc $x^2=(mx-m-\frac{1}{2})(x^2-x-2)$
En développant : $mx^3+(-2m-\frac{3}{2})x^2 +(-m+\frac{1}{2})x +2m+1=0$
On connaît déjà une solution de cette équation, c'est $x=1$ car le point $F$ est sur la courbe et sur la droite donc on peut factoriser le polynôme $mx^3+(-2m-\frac{3}{2})x^2 +(-m+\frac{1}{2})x +2m+1=0$ par $x-1$.
En utilisant, la méthode des coefficients indéterminés on obtient $(x-1)[mx^2+(-m-\frac{3}{2})x-2m-1]=0$
Les abscisses des points $B$ et $C$ sont donc solutions de l'équation : $mx^2+(-m-\frac{3}{2})x-2m-1=0$
L'abscisse du point $M$ est la demi-somme des abscisses des point $B$ et $C$ ce qui donne $x_M=\frac{m+\frac{3}{2}}{2m}=\frac{2m+3}{4m}$
$M$ appartenant à la droite $y_M=m(\frac{2m+3}{4m}-1)-\frac{1}{2})=\frac{2m+3}{4}-m-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} m +\frac{1}{4}$
Pour obtenir l'ensemble des points $M$, il faut éliminer le paramètre $m$ entre $x_m$ et $y_m$
$4y_M=-2m+1$ donc $m=2y_M+\frac{1}{2}$
$x_M=\frac{1}{2} +\frac{3}{4m}=\frac{1}{2} +\frac{3}{8y_M+2}=\frac{4y_M+4}{8y_M+2}=\frac{2y_M+2}{4y_M+1}$
En inversant et sauf erreur de calcul je trouve $y_M=\frac{2-x_M}{4x_M-2}$ qui est l'équation d'une hyperbole.
Tout ceci me semble bien compliqué pour un élève de 1ère. Les calculs seraient un peu simplifiés en prenant le point F de coordonnées (0,0)