trigonométrie
Re: trigonométrie
Bonjour
Exercice 1
1°) $\frac{2\pi}{7} =\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{14}\ ;\ \frac{5\pi}{14} =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}\ ;\ \frac{3\pi}{7} =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{14}$
On obtient donc : $\cos \frac{\pi}{14} +\cos \frac{\pi}{7} +\cos \frac{3\pi}{14} -\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{14}) -\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}) -\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{14})$
$\sin (\frac{\pi}{2}-x)=\cos x$. La somme précédente est donc nulle.
2°) $\tan (\pi -x)=\frac{\sin (\pi -x)}{\cos (\pi -x)}=\frac{\sin x}{-\cos x} =-\tan x$
$\frac{8\pi}{9} =\pi -\frac{\pi}{9}\ ;\ \frac{7\pi}{9} =\pi -\frac{2\pi}{9} \cdots$
En appliquant la formule précédente, on a donc une somme nulle.
3°) $\sin (\pi -x) =\sin x$ donc $\sin^2(\pi-x)=\sin^2x$ et $\frac{3\pi}{5} =\pi -\frac{2\pi}{5}\ ;\ \frac{4\pi}{5} =\pi -\frac{\pi}{5}$
La somme est donc égale à 2.
4°) Je pense qu'il y a une erreur de texte et que $\tan \frac{4\pi}{5}$ est à remplacer par $cotan \frac{4\pi}{5}$
Formules à appliquer : $\tan(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{\sin (\frac{\pi}{2} -x)}{\cos (\frac{\pi}{2}-x)}=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}$
$cotan(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{1}{\tan (\frac{\pi}{2}-x)}=\tan x =\frac{1}{cotan x}$
Avec la modification du texte, vous devez trouver 2.
5°) $\sin^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{3\pi}{8}+\sin^2(\pi-\frac{3\pi}{8})+\sin^2(\pi-\frac{\pi}{8})=2\sin^2\frac{\pi}{8}+2\sin^2\frac{3\pi}{8}$
$=2\sin^2\frac{\pi}{8}+2\sin^2(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8})=2\sin^2\frac{\pi}{8}+2\cos^2\frac{\pi}{8}=2$
6°) Simplifiez les fractions et on a des valeurs remarquables.
7°) Avec la formule $\sin (\pi -x)=\sin x$, on obtient :
$2\sin^2\frac{\pi}{12}+2\sin^2\frac{3\pi}{12}+2\sin^2\frac{5\pi}{12}=2\sin^2\frac{\pi}{12}+2\sin^2\frac{3\pi}{12}+2\sin^2(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12})$
$=2\sin^2\frac{\pi}{12}+2\sin^2\frac{3\pi}{12}+2\cos^2 \frac{\pi}{12}=2+2\sin^2\frac{\pi}{4}=2+1=3$
Exercice 1
1°) $\frac{2\pi}{7} =\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{14}\ ;\ \frac{5\pi}{14} =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}\ ;\ \frac{3\pi}{7} =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{14}$
On obtient donc : $\cos \frac{\pi}{14} +\cos \frac{\pi}{7} +\cos \frac{3\pi}{14} -\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{14}) -\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}) -\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{14})$
$\sin (\frac{\pi}{2}-x)=\cos x$. La somme précédente est donc nulle.
2°) $\tan (\pi -x)=\frac{\sin (\pi -x)}{\cos (\pi -x)}=\frac{\sin x}{-\cos x} =-\tan x$
$\frac{8\pi}{9} =\pi -\frac{\pi}{9}\ ;\ \frac{7\pi}{9} =\pi -\frac{2\pi}{9} \cdots$
En appliquant la formule précédente, on a donc une somme nulle.
3°) $\sin (\pi -x) =\sin x$ donc $\sin^2(\pi-x)=\sin^2x$ et $\frac{3\pi}{5} =\pi -\frac{2\pi}{5}\ ;\ \frac{4\pi}{5} =\pi -\frac{\pi}{5}$
La somme est donc égale à 2.
4°) Je pense qu'il y a une erreur de texte et que $\tan \frac{4\pi}{5}$ est à remplacer par $cotan \frac{4\pi}{5}$
Formules à appliquer : $\tan(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{\sin (\frac{\pi}{2} -x)}{\cos (\frac{\pi}{2}-x)}=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}$
$cotan(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{1}{\tan (\frac{\pi}{2}-x)}=\tan x =\frac{1}{cotan x}$
Avec la modification du texte, vous devez trouver 2.
5°) $\sin^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{3\pi}{8}+\sin^2(\pi-\frac{3\pi}{8})+\sin^2(\pi-\frac{\pi}{8})=2\sin^2\frac{\pi}{8}+2\sin^2\frac{3\pi}{8}$
$=2\sin^2\frac{\pi}{8}+2\sin^2(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8})=2\sin^2\frac{\pi}{8}+2\cos^2\frac{\pi}{8}=2$
6°) Simplifiez les fractions et on a des valeurs remarquables.
7°) Avec la formule $\sin (\pi -x)=\sin x$, on obtient :
$2\sin^2\frac{\pi}{12}+2\sin^2\frac{3\pi}{12}+2\sin^2\frac{5\pi}{12}=2\sin^2\frac{\pi}{12}+2\sin^2\frac{3\pi}{12}+2\sin^2(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12})$
$=2\sin^2\frac{\pi}{12}+2\sin^2\frac{3\pi}{12}+2\cos^2 \frac{\pi}{12}=2+2\sin^2\frac{\pi}{4}=2+1=3$
Re: trigonométrie
Exercice 2
1°) Utilisez les formules d'addition donnant $\cos (a-b)$ et $\sin (a-b)$
Vous devez trouver $\cos \frac{\pi}{12} =\frac{\sqrt 2+\sqrt 6}{4}\ ;\ \sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4}\ ;\ \tan \frac{\pi}{12}=2-\sqrt 3$
2°) En utilisant un résultat établi dans l'exercice 1 4°) on a :
$\tan^2\frac{\pi}{12} +\tan^2\frac{5\pi}{12}=\tan^2\frac{\pi}{12}+\frac{1}{\tan^2\frac{\pi}{12}}=(2-\sqrt 3)^2+\frac{1}{(2-\sqrt 3)^2}=7-4\sqrt 3 +\frac{1}{7-4\sqrt 3}$
$=\frac{(7-4\sqrt 3)^2+1}{7-4\sqrt 3}=\frac{98-56\sqrt 3}{7-4\sqrt 3} =\frac{14(7-4\sqrt 3)}{7-4\sqrt 3}=14$
3°) On utilise les formules de duplication : $\cos (2a)=\cos^2a -\sin^2 a =2\cos^2 a -1 =1-2\sin^2a$
$\cos^2 a =\frac{1}{2} (\cos (2a)+1)$ donc $\cos^2 \frac{\pi}{8} =\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{4} +1)=\frac{1}{2} (\frac{\sqrt 2}{2}+1)=\frac{\sqrt 2+2}{4}$
$\cos \frac{\pi}{8} =\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2}$
Utilisez la même méthode pour calculer $\sin^2\frac{\pi}{8}$ puis $\sin \frac{\pi}{8}$ et $\tan =\frac{\sin}{\cos}$
J'ai sauté certaines étapes de calcul, je pense que vous arriverez à retrouver les résultats sinon indiquez moi où vous avez un problème.
1°) Utilisez les formules d'addition donnant $\cos (a-b)$ et $\sin (a-b)$
Vous devez trouver $\cos \frac{\pi}{12} =\frac{\sqrt 2+\sqrt 6}{4}\ ;\ \sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4}\ ;\ \tan \frac{\pi}{12}=2-\sqrt 3$
2°) En utilisant un résultat établi dans l'exercice 1 4°) on a :
$\tan^2\frac{\pi}{12} +\tan^2\frac{5\pi}{12}=\tan^2\frac{\pi}{12}+\frac{1}{\tan^2\frac{\pi}{12}}=(2-\sqrt 3)^2+\frac{1}{(2-\sqrt 3)^2}=7-4\sqrt 3 +\frac{1}{7-4\sqrt 3}$
$=\frac{(7-4\sqrt 3)^2+1}{7-4\sqrt 3}=\frac{98-56\sqrt 3}{7-4\sqrt 3} =\frac{14(7-4\sqrt 3)}{7-4\sqrt 3}=14$
3°) On utilise les formules de duplication : $\cos (2a)=\cos^2a -\sin^2 a =2\cos^2 a -1 =1-2\sin^2a$
$\cos^2 a =\frac{1}{2} (\cos (2a)+1)$ donc $\cos^2 \frac{\pi}{8} =\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{4} +1)=\frac{1}{2} (\frac{\sqrt 2}{2}+1)=\frac{\sqrt 2+2}{4}$
$\cos \frac{\pi}{8} =\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2}$
Utilisez la même méthode pour calculer $\sin^2\frac{\pi}{8}$ puis $\sin \frac{\pi}{8}$ et $\tan =\frac{\sin}{\cos}$
J'ai sauté certaines étapes de calcul, je pense que vous arriverez à retrouver les résultats sinon indiquez moi où vous avez un problème.