Fonction

[youcef-ait]

Bonjour Job,



Je n'ai jamais traité un exercice pareil sur les fonctions, donc j'essaye de répondre à certaines questions

a) Les points critiques, sont les valeurs qui annulent h', donc :
x = 1; x = 5/2 et x = 4

b) h est croissante sur ] -infini ; 1 ] U [ 5/2 ; 3 [

c) Il faut regarder la question a) car grâce aux points critique h change de variation ?

d) Les points d’inflexion sont donnés là où h'' s'annule donc là où h' est constante, j'estime donc à :
x = 2/3 ; x = 1.8 et x = 4

e)
i) On dérive f(x) :
f '(x) = -2h(x) + (1-2x)h'(x)
On sait que f '(5) = 0, donc :
-2h(5) + (1-2*5)h'(5) = 0
On lit graphiquement que h '(5) = 1/5, donc :
h(5) = -9/10

ii)

f '(x) = -2h(x) + (1-2x)h'(x)
Donc :
f ''(x) = -2h'(x) - 2h'(x) + (1-2x)h ''(x)
f ''(x) = -4h'(x) + (1-2x)h ''(x)

je ne sais pas quoi dire ...

Merci à vous.

[Job]

Bonsoir

a) J'ignorais ce que signifie point critique d'une fonction à une variable mais d'après une définition vue sur le net, je pense qu'il faut ajouter $x=3$ où la dérivée n'existe pas mais ce n'est pas du tout sûr.

b) À ajouter les intervalles sur lesquels $h$ est décroissante soit $[1,\frac{5}{2}]$ et $[3,+\infty[$

c) Maximum relatif pour $x=1$ et $x=3$ et minimum relatif pour $x=\frac{5}{2}$

d) On a un point d'inflexion lorsque la dérivée première s'annule en changeant de signe donc pour $x=1$ et $x=\frac{5}{2}$

e) i) D'accord avec vous
ii) J'ai fait le même calcul que vous : $f"(x)=-4h'(x)+(1-2x)h"(x)$
Au voisinage de 5, $h'(x)<0$ donc $-4h'(x)>0$. D'autre part, au voisinage de 5, $h'$ est décroissante donc $h"(x)<0$ et $(1-2x)h"(x)>0$
Au voisinage dé 5, $f"(x)$ est donc positif et par conséquent $f'$ est croissante.
Comme $f'(5)=0$, on en déduit que $f'<0$ lorsque $x<5$ et $f'>0$ lorsque $x>5$. $f$ est donc décroissante avant 5 et croissante après 5. Il s'agit donc d'un minimum relatif.

[youcef-ait]

Je vous remercie pour vos correction.