Bonjour;
Je suis bloqué sur un exercice que j'ai fais en devoir, et notre prof nous a pas donné la correction; pourriez vous m'aider à le comprendre svp ,
d'avance merci de votre aide;
Voici le sujet;
On considère la fonction f(x) = (10x) / (x^2+2x+4)
Montrer pour tout réel x , -5 < ou égal à f(x) < ou égal à 1,8
Montrer que -5 est le minimum de f sur IR
fonctions
Re: fonctions
Bonjour
Je ne sais pas quelle méthode le professeur attendait car il y en a plusieurs.
La double inégalité à démontrer est $-5\leq \frac{10x}{x^2+2x+4} \leq 1,8$
$x^2+2x+4=(x^2+2x+1)+3=(x+1)^2+3>0$ (ou étude du signe du trinôme dont le discriminant est négatif)
On peut donc multiplier les termes de l'inégalité à démontrer par $x^2+2x+4)$
On obtient l'inégalité équivalente : $-5(x^2+2x+4)\leq 10x \leq 1,8(x^2+2x+4)$
$-5(x^2+2x+4)\leq 10 x$ équivaut à $5x^2+10x+20+10x\geq 0$ soit $5(x^2+4x+4)\geq 0$ ou $5(x+2)^2\geq 0$ ce qui est toujours vérifié. (I)
$10x\leq 1,8x^2+3,6x+7,2$ équivaut à $1,8x^2-6,4 x+7,2\geq 0$
Le discriminant du trinôme est égal à $(-6,4)^2-4\times 1,8\times 7,2=-10,88$
Le discriminant étant négatif, le trinôme est toujours du signe de $a=1,8$ donc strictement positif et l'inégalité est démontrée.
En revenant à l'inégalité (I), on voit qu'il y a égalité lorsque $5(x+2)^2=0$ donc lorsque $x=-2$ par conséquent le minimum (-5) est atteint pour $x=-2$.
Je ne sais pas quelle méthode le professeur attendait car il y en a plusieurs.
La double inégalité à démontrer est $-5\leq \frac{10x}{x^2+2x+4} \leq 1,8$
$x^2+2x+4=(x^2+2x+1)+3=(x+1)^2+3>0$ (ou étude du signe du trinôme dont le discriminant est négatif)
On peut donc multiplier les termes de l'inégalité à démontrer par $x^2+2x+4)$
On obtient l'inégalité équivalente : $-5(x^2+2x+4)\leq 10x \leq 1,8(x^2+2x+4)$
$-5(x^2+2x+4)\leq 10 x$ équivaut à $5x^2+10x+20+10x\geq 0$ soit $5(x^2+4x+4)\geq 0$ ou $5(x+2)^2\geq 0$ ce qui est toujours vérifié. (I)
$10x\leq 1,8x^2+3,6x+7,2$ équivaut à $1,8x^2-6,4 x+7,2\geq 0$
Le discriminant du trinôme est égal à $(-6,4)^2-4\times 1,8\times 7,2=-10,88$
Le discriminant étant négatif, le trinôme est toujours du signe de $a=1,8$ donc strictement positif et l'inégalité est démontrée.
En revenant à l'inégalité (I), on voit qu'il y a égalité lorsque $5(x+2)^2=0$ donc lorsque $x=-2$ par conséquent le minimum (-5) est atteint pour $x=-2$.