Bonjour, je cherche une aide pour la résolution de ces deux exercices
EXERCICE 1
Les parties 1°/ et 2°/ sont indépendantes
1° On pose P(x)=$x^{n}$+x+1 et Q(x)=$x^{2}$+3x-4 où n ∈ N* - {1}
On suppose qu' il existe S et R tel que P(x)=Q(x).S(x)+R(x) avec degré de R=1
a) Déterminer degré de S.
b) Déterminer le polynôme R(x) en fonction de x et n.
2° On pose f(x)=$x^{3}$-$x^{2}$-4x-1 où p,q et r sont trois racines de f.
On remarquera que p≠0; q≠0 et r≠0.(p différent de 0; q différent de 0;r différent de 0)
On pose A=(1+p+pq)+(1+q+qr)+(1+r+pr)
a) Calculer A
b) Montrer que aussi que A=(1+p+pq)(1+$\frac{1}{p}$+$\frac{1}{pq}$)
c) En déduire que p=-1-$\frac{1}{q}$ où q=-1-$\frac{1}{p}$
EXERCICE 2
Déterminer les réels a et b p(x)=a$x^{7}$+b$x^{6}$+1 soit factorisable par $(x-1)^{2}$
polynôme
Re: polynôme
Bonjour
Exercice 1
1° a) deg$(P)$ = deg$(Q)$ + deg$(S)$ donc deg$(S)=n-2$
b) Le polynôme $Q$ a comme racines 1 et (-4)
$P(1)=Q(1)\times S(1) +R(1)=0\times S(1)+R(1)=R(1)$
$R$ est de degré 1 donc en posant $R(x)=ax+b$, l'égalité précédente donne $3=a+b$
De même, $P(-4)=R(-4)$ donc $(-4)^n-3=-4a+b$
On obtient donc un système de 2 équations à 2 inconnues, ce qui donne $a=\frac{6-(-4)^n}{5}$ et $b=\frac{9+(-4)^n}{5}$
$R(x)=\frac{6-(-4)^n}{5} x +\frac{9+(-4)^n}{5}$
2° a) $p,\ q,\ r$ étant les racines de $f(x)$, on a $f(x)=(x-p)(x-q)(x-r)$
En développant, on obtient $f(x)=x^3-(p+q+r)x^2+(pq+qr+rp)x -pqr$
Donc, par identification : $p+q+r=1\ ;\ pq+qr+rp=-4\ ;\ pqr=1$
$A=3+(p+q+r)+(pq+qr+rp)$ soit, en utilisant les relations précédentes : $A=3+1+(-4)=0$
b) $(1+p+pq)(1+\frac{1}{p} +\frac{1}{pq})=(1+p+pq) +\frac{1}{p}(1+p+pq)+\frac{1}{pq}(1+p+pq)$
En utilisant la troisième relation : $pqr=1$ on a $ \frac{1}{pq}=r\ ;\ \frac{1}{p}=qr$
Donc $(1+p+q) +\frac{1}{p}(1+p+pq)+\frac{1}{pq}(1+p+pq)=(1+p+pq)+(qr+pqr+pqrq)+(r+rp+rpq)$
$=(1+p+q)+(qr+1+q)+(r+rp+1)=A$
c) $A=0$ donc $1+p+pq=0$ ou $1+\frac{1}{p}+\frac{1}{pq}=0$
soit $q=\frac{-1-p}{p}=-1-\frac{1}{p}$ ou $p=\frac{-1-q}{q}=-1-\frac{1}{q}$
Exercice 2
$P(x)=(x-1)^2 Q(x)$ donc $P(1)=0$ soit $a+b+1=0$
En dérivant $P'(x)=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2 Q'(x)$ donc $P'(1)=0$
$P'(x)=7ax^6+6bx^5$
$P'(1)=0 \Longleftrightarrow 7a+6b=0$
Il reste à résoudre le système $\left\{\begin{array}{rcl}a+b&=&-1\\7a+6b&=&0\end{array}\right.$
Exercice 1
1° a) deg$(P)$ = deg$(Q)$ + deg$(S)$ donc deg$(S)=n-2$
b) Le polynôme $Q$ a comme racines 1 et (-4)
$P(1)=Q(1)\times S(1) +R(1)=0\times S(1)+R(1)=R(1)$
$R$ est de degré 1 donc en posant $R(x)=ax+b$, l'égalité précédente donne $3=a+b$
De même, $P(-4)=R(-4)$ donc $(-4)^n-3=-4a+b$
On obtient donc un système de 2 équations à 2 inconnues, ce qui donne $a=\frac{6-(-4)^n}{5}$ et $b=\frac{9+(-4)^n}{5}$
$R(x)=\frac{6-(-4)^n}{5} x +\frac{9+(-4)^n}{5}$
2° a) $p,\ q,\ r$ étant les racines de $f(x)$, on a $f(x)=(x-p)(x-q)(x-r)$
En développant, on obtient $f(x)=x^3-(p+q+r)x^2+(pq+qr+rp)x -pqr$
Donc, par identification : $p+q+r=1\ ;\ pq+qr+rp=-4\ ;\ pqr=1$
$A=3+(p+q+r)+(pq+qr+rp)$ soit, en utilisant les relations précédentes : $A=3+1+(-4)=0$
b) $(1+p+pq)(1+\frac{1}{p} +\frac{1}{pq})=(1+p+pq) +\frac{1}{p}(1+p+pq)+\frac{1}{pq}(1+p+pq)$
En utilisant la troisième relation : $pqr=1$ on a $ \frac{1}{pq}=r\ ;\ \frac{1}{p}=qr$
Donc $(1+p+q) +\frac{1}{p}(1+p+pq)+\frac{1}{pq}(1+p+pq)=(1+p+pq)+(qr+pqr+pqrq)+(r+rp+rpq)$
$=(1+p+q)+(qr+1+q)+(r+rp+1)=A$
c) $A=0$ donc $1+p+pq=0$ ou $1+\frac{1}{p}+\frac{1}{pq}=0$
soit $q=\frac{-1-p}{p}=-1-\frac{1}{p}$ ou $p=\frac{-1-q}{q}=-1-\frac{1}{q}$
Exercice 2
$P(x)=(x-1)^2 Q(x)$ donc $P(1)=0$ soit $a+b+1=0$
En dérivant $P'(x)=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2 Q'(x)$ donc $P'(1)=0$
$P'(x)=7ax^6+6bx^5$
$P'(1)=0 \Longleftrightarrow 7a+6b=0$
Il reste à résoudre le système $\left\{\begin{array}{rcl}a+b&=&-1\\7a+6b&=&0\end{array}\right.$