Bonjour ;
Pourriez vous m'aider à résoudre mon problème pour la semaine prochaine ... Quelques difficultés rencontrées !
Le carre ABCD est de coté 1. Lorsque le point I se déplace sur la diagonale AC il détermine deux carrées variables
On note M le projeté orthogonal du point I sur le segment AB et x = MB
Montrer que l'aire de la somme des deux carrées est A(x) = 2x^2-2x+1
Pour quelle position du point I , A(x) atteint elle son maximum?
pour quelle position du point I la somme des aires deux carrées ne dépasse t-elle pas 3/4?
PROBLEME
Re: PROBLEME
Bonjour
L'un des carrés a pour côté $x$ et l'autre $1-x$ donc la somme des aires des 2 carrés est égale à $x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1$
$A'(x)=4x-2$ donc $A'(x)=0$ pour $x=\frac{1}{2}$ ; $A'(x)>0$ pour $x>\frac{1}{2}$ ; $A'(x)<0$ pour $x<\frac{1}{2}$.
La fonction $A$ est donc décroissante sur l'intervalle $[0 , \frac{1}{2}]$ et croissante sur l'intervalle $[\frac{1}{2}, 1]$.
Elle atteint un minimum pour $x=\frac{1}{2}$ et $A(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$. Elle est maximale pour $x$ = 0 ou 1 et $A(0)=A(1)=1$
$A(x)\leq \frac{3}{4}$ équivaut à $2x^2-2x+\frac{1}{4}\leq 0$
On étudie le signe du trinôme.
$\Delta =4-4\times 2 \times \frac{1}{4} =2$
Les racines sont $x_1=\frac{2-\sqrt 2}{4}$ et $x_2=\frac{2+\sqrt 2}{4}$.
D'après la règle sur le signe du trinôme, celui-ci est inférieur ou égal à 0 si $x\in [\frac{2-\sqrt 2}{4} , \frac{2+\sqrt 2}{4}]$. Ce qui donne la position du point $M$ donc de $I$
L'un des carrés a pour côté $x$ et l'autre $1-x$ donc la somme des aires des 2 carrés est égale à $x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1$
$A'(x)=4x-2$ donc $A'(x)=0$ pour $x=\frac{1}{2}$ ; $A'(x)>0$ pour $x>\frac{1}{2}$ ; $A'(x)<0$ pour $x<\frac{1}{2}$.
La fonction $A$ est donc décroissante sur l'intervalle $[0 , \frac{1}{2}]$ et croissante sur l'intervalle $[\frac{1}{2}, 1]$.
Elle atteint un minimum pour $x=\frac{1}{2}$ et $A(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$. Elle est maximale pour $x$ = 0 ou 1 et $A(0)=A(1)=1$
$A(x)\leq \frac{3}{4}$ équivaut à $2x^2-2x+\frac{1}{4}\leq 0$
On étudie le signe du trinôme.
$\Delta =4-4\times 2 \times \frac{1}{4} =2$
Les racines sont $x_1=\frac{2-\sqrt 2}{4}$ et $x_2=\frac{2+\sqrt 2}{4}$.
D'après la règle sur le signe du trinôme, celui-ci est inférieur ou égal à 0 si $x\in [\frac{2-\sqrt 2}{4} , \frac{2+\sqrt 2}{4}]$. Ce qui donne la position du point $M$ donc de $I$