complément suite

[nico033]

Bonjour ;

Voici une autre partie de mon devoir maison sur les suites où je bloque totalement , merci de votre aide ;

on note (un) le nombre de cube que l'on enlevé à chaque étape
déterminer la nature de la suite (un) et en donner les éléments caractéristiques

on note (vn) la longueur de l'arête du cube que l'on enlève à chaque étape
déterminer la nature de la suite (vn) et en donner les éléments caractéristiques

note (cn) le volume du solide restant au bout de n étapes
exprimer cn+1 en fonction de cn
en déduire une expression de cn en fonction de n à l'aide du symbole somme

en déduire le volume limite du solide restant

[Job]

Bonjour

a) À la première étape, on enlève 8 cubes. Chaque cube enlevé laisse 3 sommets saillants donc $u_{n+1}=3u_n$
La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison 3 et de premier terme $u_1=8$.
Donc $u_n=8\times 3^{n-1}$.

b) La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme $v_1=\frac{1}{3}$
$v_n=\frac{1}{3} \times (\frac{1}{3})^{n-1}=(\frac{1}{3})^n$

c) D'après les résultats précédents, à l'étape $n+1$, on enlève $8\times 3^n$ cubes, chacun d'eux de volume $((\frac{1}{3})^{n+1})^3=(\frac{1}{3})^{3n+3}$
Donc $c_{n+1} =c_n-8\times 3^n \times (\frac{1}{3})^{3n+3}=c_n-8\times (\frac{1}{3})^{2n+3}$
$c_1=1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}$
$c_n=\frac{19}{27}-8\sum_{k=1}^{n-1} (\frac{1}{3})^{2k+3}=\frac{19}{27} -\frac{8}{27}\sum_{k=1}^{n-1}(\frac{1}{9})^k$
$\sum_{k=1}^{n-1}(\frac{1}{9})^k$ est la somme de $(n-1)$ termes d'une suite géométrique de raison et de premier terme $\frac{1}{9}$
Donc $\sum_{k=1}^{n-1}(\frac{1}{9})^k=\frac{1}{9} \times \frac{1-(\frac{1}{9})^{n-1}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{1}{8}(1-(\frac{1}{9})^{n-1})$

$\lim_{n\to +\infty} 1-(\frac{1}{9})^{n-1}=1$ donc $\lim_{n\to +\infty} c_n=\frac{19}{27}-\frac{8}{27}\times \frac{1}{8}=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}$

(En espérant ne pas avoir fait d'erreur)

[nico033]

Merci bcp Job ;

Pourriez vous regarder mon ancien message intitulé suite pour m'aider à faire la 1ère partie de l'exercice car je bloque toujours;