DM produits scalaires

[Mogo62]

Bonjour, j'ai besoin d'aide j'ai un DM pour lundi et je n'y comprend vraiment rien car mon prof a été absent plus d'un moi donc je suis pommé frown.
Je vous donne l'énoncé :

Exercice 1 : Soient A(1,5) ; B(-3,1) ; C(7,-3) : Après avoir trouvé les coordonnées de G, centre de gravité de (ABC), Ω , centre du cercle circonscrit à (ABC) et de M orthocentre de (ABC) montrer qu'ils sont alignés et trouver le rapport GM/G Ω.

Exercice 2 : A l'aide de la figure suivante : montrer que a+b= π/4 (idée calculer cos(a+b) )

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[Job]

Bonsoir

Exercice 2
Dans le triangle rectangle dont un angle aigu est $b$, on calcule d'abord l'hypoténuse à l'aide du théorème de Pythagore. On obtient $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt 5$
Donc $\sin b =\frac{1}{\sqrt 5}$ et $\cos b =\frac{2}{\sqrt 5}$.

On fait le même travail avec le triangle rectangle dont un angle aigu est $a$.
Hypoténuse : $\sqrt{3^2+1^1}=\sqrt {10}$. $\sin a =\frac{1}{\sqrt{10}}$ ; $\cos a =\frac{3}{\sqrt{10}}$

$\cos (a+b) =\cos a \cos b - \sin a \sin b=\frac{3}{\sqrt {10}} \times \frac{2}{\sqrt 5} - \frac{1}{\sqrt{10}}\times \frac{1}{\sqrt 5}=\frac{6}{5\sqrt 2}-\frac{1}{5\sqrt 2}=\frac{5}{5\sqrt 2} =\frac{1}{\sqrt 2} =\frac{\sqrt 2}{2}$
Donc $a+b=\frac{\pi}{4}$

[Mogo62]

A d'accord, je vous remercie c'est gentil

[Job]

Exercice 1
Soit $A'$ le milieu de $[BC]$. $A'$ a pour coordonnées : $(\frac{-3+7}{2}, \frac{1+(-3)}{2})=(2,-1)$
Le centre de gravité est aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet donc $\overrightarrow {AG} =\frac{2}{3} \overrightarrow {AA'}$
Ce qui donne, en termes de coordonnées : $\left\{\begin{array}{rcl}x_G-x_A=\frac{2}{3}(x_{A'}-x_A) \\ y_G-y_A=\frac{2}{3}(y_{A'}-y_A)\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{rcl}x_G-1=\frac{2}{3}(2-1) \\ y_G-5=\frac{2}{3}(-1-5)\end{array}\right.$. Donc $G$ a pour coordonnées : $(\frac{5}{3} , 1)$

Équation de la médiatrice de $[BC]$
Un point $P(x,y)$ situé sur la médiatrice de $[BC]$ est tel que les vecteurs $\overrightarrow{A'P}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux donc leur produit scalaire est nul.
$\overrightarrow{A'P}$ a pour coordonnées $(x-2,y+1)$ et le vecteur $\overrightarrow{BC}$ a pour coordonnées $(10, -4)$
$\overrightarrow{A'P}\cdot \overrightarrow{BC}= 10(x-2)-4(y+1)=0$
Donc équation de la médiatrice de $[BC]$ : $10x-4y-24=0$
Tu vas, de même chercher l'équation d'une seconde médiatrice, en calculant par exemple les coordonnées du point $B'$ milieu de $[AC]$ puis l'équation de la perpendiculaire à $[AC]$ passant par $B'$.(Tu dois trouver : $6x-8y-16=0$)
Puis un résolvant le système formé par les 2 équations, on obtient les coordonnées de $\Omega$ (Tu dois trouver : $(\frac{16}{7}, -\frac{2}{7})$

Équation de la hauteur issue de $A$.
Soit $R(x,y)$ un point quelconque situé sur cette hauteur. Les vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AR}$ sont orthogonaux donc leur produit scalaire est nul ce qui donne $10(x-1)+(-4)(y-5)=0$ soit $10x-4y+10=0$
Tu vas chercher, de même l'équation de la hauteur issue de $B$ (Tu dois trouver : $6x-8y+26=0$)
Avec le système formé par les équations de 2 hauteurs on obtient les coordonnées de $M$ (On trouve : $(\frac{3}{7} , \frac{25}{7})$)

Essaie de faire les différents calculs indiqués. Si tu n'y arrives pas indique moi ce qui ne va pas, tu as peut-être vu d'autres méthodes.

[Mogo62]

Bonsoir, je n'arrive pas à résoudre les systèmes avec les 2 équations.

[Job]

Bonsoir

$\left\{\begin{array}{rcl}10x-4y-24&=&0\\ 6x-8y-16&=&0\end{array}\right.$
On divise tous les termes de la seconde équation par (-2) puis on ajoute membre à membre les 2 équations pour éliminer $y$.
$\left\{\begin{array}{rcl}10x-4y-24&=&0\\ -3x+4y+8&=&0\end{array}\right.$. En additionnant membre à membre, on obtient : $7x-16=0$
$7x=16$ soit $x=\frac{16}{7}$
On remplace $x$ par sa valeur, par exemple dans la première équation :
$\frac{160}{7} -4y -24=0$
$\frac{160}{7} -\frac{168}{7}=4y$
$y=\frac{-\frac{8}{7}}{4}=-\frac{2}{7}$

$\left\{\begin{array}{rcl}10x-4y+10&=&0\\ 6x-8y+26&=&0\end{array}\right.$
J'utilise une autre méthode. De la première équation on déduit : $10x+10=4y$ soit $y=\frac{5}{2} x +\frac{5}{2}$
On remplace dans la seconde équation :
$6x-8(\frac{5}{2} x +\frac{5}{2})+26=0$
$6x-20x -20+26=0$
$-14 x =-6$
$x=\frac{-6}{-14}=\frac{3}{7}$
On a alors $y=\frac{5}{2} x +\frac{5}{2} =\frac{5}{2} \times \frac{3}{7} +\frac{5}{2} = \frac{15}{14} + \frac{35}{14} =\frac{50}{14} =\frac{25}{7}$